1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на промежутке: a) y= 2sinx на отрезке [0; π] б) h(x) = 2x² - 8x + 6 [-1; 4]

Решение:

а) y = 2sin x на отрезке [0; π]

1. Найдём производную функции: \( y' = (2 \sin x)' = 2 \cos x \).


2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 2 \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0 \). На отрезке \( [0; \pi] \) решением является \( x = \frac{\pi}{2} \).


3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:




• При \( x = 0 \): \( y = 2 \sin 0 = 2 \cdot 0 = 0 \).


• При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 = 2 \).


• При \( x = \pi \): \( y = 2 \sin \pi = 2 \cdot 0 = 0 \).




4. Сравним полученные значения: наибольшее значение — 2, наименьшее — 0.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 2, наименьшее — 0.

б) h(x) = 2x² - 8x + 6 на отрезке [-1; 4]

1. Найдём производную функции: \( h'(x) = (2x^2 - 8x + 6)' = 4x - 8 \).


2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 4x - 8 = 0 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \).


3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:




• При \( x = -1 \): \( h(-1) = 2(-1)^2 - 8(-1) + 6 = 2(1) + 8 + 6 = 2 + 8 + 6 = 16 \).


• При \( x = 2 \): \( h(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) - 16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2 \).


• При \( x = 4 \): \( h(4) = 2(4)^2 - 8(4) + 6 = 2(16) - 32 + 6 = 32 - 32 + 6 = 6 \).




4. Сравним полученные значения: наибольшее значение — 16, наименьшее — -2.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 16, наименьшее — -2.