1. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 12 см, и площадь круга, вписанного в этот треугольник. Сделайте чертеж.

Решение:

Пусть дан правильный треугольник со стороной \( a = 12 \) см.

1. Найдём радиус описанной окружности (R):
   Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен:
   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
   \[ R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \text{ см} \]
   Длина описанной окружности:
   \[ C = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \pi \sqrt{3} \text{ см} \]
2. Найдём радиус вписанной окружности (r):
   Для правильного треугольника радиус вписанной окружности равен половине радиуса описанной окружности:
   \[ r = \frac{R}{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3} \text{ см} \]
   Площадь вписанного круга:
   \[ S = \pi r^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = \pi \cdot (4 \cdot 3) = 12 \pi \text{ см}^2 \]
3. Чертеж:
   

Ответ: Длина описанной окружности равна 8π√3 см, площадь вписанного круга равна 12π см².