Контрольные задания
Вопрос:

1. Найдите число x < -20, если известно, что оно является седьмым членом некоторой бесконечной арифметической прогрессии, сумма первых семнадцати членов которой равна 51, и число -6х также является членом этой прогрессии.

Фото задания: 1. Найдите число x < -20, если известно, что оно является седьмым членом некоторой бесконечной арифметической прогрессии,…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a_1 \) и разность прогрессии как \( d \).
  2. Седьмой член прогрессии: \( a_7 = a_1 + 6d \). По условию, \( a_7 = x \).
  3. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} n \).
  4. Сумма первых 17 членов: \( S_{17} = \frac{2a_1 + (17-1)d}{2} 17 = \frac{2a_1 + 16d}{2} 17 = (a_1 + 8d) 17 \).
  5. По условию \( S_{17} = 51 \). Следовательно, \( (a_1 + 8d) 17 = 51 \).
  6. Отсюда \( a_1 + 8d = \frac{51}{17} = 3 \).
  7. Заметим, что \( a_1 + 8d \) — это десятый член прогрессии: \( a_{10} = 3 \).
  8. Известно, что \( a_7 = x \) и \( a_{10} = 3 \).
  9. Разность между \( a_{10} \) и \( a_7 \) равна \( 3d \).
  10. Тогда \( a_{10} - a_7 = 3 \) \( – x = 3d \).
  11. Число \( -6x \) также является членом прогрессии. Пусть \( -6x = a_k \) для некоторого \( k \).
  12. Можно выразить \( x \) через \( a_1 \) и \( d \): \( x = a_1 + 6d \).
  13. Подставим \( a_1 \) из \( a_1 + 8d = 3 \) в выражение для \( x \): \( a_1 = 3 - 8d \).
  14. Тогда \( x = (3 - 8d) + 6d = 3 - 2d \).
  15. Из \( 3 - x = 3d \) выразим \( d \) через \( x \): \( d = \frac{3-x}{3} \).
  16. Подставим \( d \) в \( x = 3 - 2d \): \( x = 3 - 2 \frac{3-x}{3} \).
  17. Умножим обе части на 3: \( 3x = 9 - 2(3-x) \)
  18. \( 3x = 9 - 6 + 2x \)
  19. \( 3x = 3 + 2x \)
  20. \( x = 3 \).
  21. Однако, по условию \( x < -20 \). Полученное значение \( x = 3 \) не удовлетворяет этому условию. Это означает, что \( -6x \) должно быть членом прогрессии, но не обязательно \( a_1 \) или \( a_7 \) или \( a_{10} \).
  22. Рассмотрим соотношение \( a_1 + 8d = 3 \) и \( x = a_1 + 6d \).
  23. Вычитая второе из первого: \( (a_1 + 8d) - (a_1 + 6d) = 3 - x \) \( → 2d = 3 - x \).
  24. Так как \( x < -20 \), то \( 3 - x > 3 - (-20) = 23 \).
  25. Следовательно, \( 2d > 23 \), \( d > 11.5 \).
  26. Теперь рассмотрим, что \( -6x \) является членом прогрессии. \( -6x = a_1 + (k-1)d \).
  27. Используя \( a_1 = x - 6d \), получим: \( -6x = (x - 6d) + (k-1)d = x + (k - 7)d \).
  28. \( -7x = (k - 7)d \).
  29. Мы имеем два уравнения с \( x, d, k \):
    1. \( 2d = 3 - x \)
    2. \( -7x = (k - 7)d \)
  30. Из первого уравнения: \( d = \frac{3-x}{2} \).
  31. Подставим во второе: \( -7x = (k - 7) \frac{3-x}{2} \).
  32. \( -14x = (k - 7)(3-x) \).
  33. \( -14x = 3k - kx - 21 + 7x \).
  34. \( kx - k = 3k - 21 \).
  35. \( x(k-1) = 3k - 21 \).
  36. \( x = \frac{3k - 21}{k-1} \).
  37. Нам дано, что \( x < -20 \).
  38. \( \frac{3k - 21}{k-1} < -20 \).
  39. \( \frac{3k - 21}{k-1} + 20 < 0 \).
  40. \( \frac{3k - 21 + 20(k-1)}{k-1} < 0 \).
  41. \( \frac{3k - 21 + 20k - 20}{k-1} < 0 \).
  42. \( \frac{23k - 41}{k-1} < 0 \).
  43. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
  44. Случай 1: \( 23k - 41 > 0 \) и \( k-1 < 0 \). \( k > \frac{41}{23} ≈ 1.78 \) и \( k < 1 \). Нет решений.
  45. Случай 2: \( 23k - 41 < 0 \) и \( k-1 > 0 \). \( k < \frac{41}{23} ≈ 1.78 \) и \( k > 1 \).
  46. Так как \( k \) — это номер члена прогрессии, \( k \) должно быть натуральным числом. Единственное натуральное число, удовлетворяющее \( 1 < k < 1.78 \) — это \( k = 1 \).
  47. Но \( k=1 \) не удовлетворяет \( k > 1 \).
  48. Пересмотрим условие. \( x = a_7 \). \( -6x = a_k \).
  49. \( a_n = a_1 + (n-1)d \). \( a_7 = a_1 + 6d = x \). \( a_{10} = a_1 + 9d = 3 \).
  50. \( a_{10} - a_7 = 3d \) \( → 3 - x = 3d \) \( → d = \frac{3-x}{3} \).
  51. \( a_k = a_1 + (k-1)d = -6x \).
  52. Выразим \( a_1 \) из \( a_7 \): \( a_1 = x - 6d = x - 6 \frac{3-x}{3} = x - 2(3-x) = x - 6 + 2x = 3x - 6 \).
  53. Подставим \( a_1 \) и \( d \) в уравнение для \( a_k \): \( (3x - 6) + (k-1)\frac{3-x}{3} = -6x \).
  54. \( 3(3x - 6) + (k-1)(3-x) = -18x \).
  55. \( 9x - 18 + 3k - kx - 3 + x = -18x \).
  56. \( 10x - 21 + 3k - kx = -18x \).
  57. \( 28x + 3k - kx = 21 \).
  58. \( x(28 - k) = 21 - 3k \).
  59. \( x = \frac{21 - 3k}{28 - k} \).
  60. Нам дано \( x < -20 \).
  61. \( \frac{21 - 3k}{28 - k} < -20 \).
  62. \( \frac{21 - 3k}{28 - k} + 20 < 0 \).
  63. \( \frac{21 - 3k + 20(28 - k)}{28 - k} < 0 \).
  64. \( \frac{21 - 3k + 560 - 20k}{28 - k} < 0 \).
  65. \( \frac{581 - 23k}{28 - k} < 0 \).
  66. Знаменатель \( 28 - k \) и числитель \( 581 - 23k \) должны иметь разные знаки.
  67. Случай 1: \( 581 - 23k > 0 \) и \( 28 - k < 0 \). \( 581 > 23k \) \( → k < \frac{581}{23} ≈ 25.26 \) и \( k > 28 \). Нет решений.
  68. Случай 2: \( 581 - 23k < 0 \) и \( 28 - k > 0 \). \( k > \frac{581}{23} ≈ 25.26 \) и \( k < 28 \).
  69. \( k \) — натуральное число. Возможные значения \( k = 26, 27 \).
  70. Если \( k = 26 \): \( x = \frac{21 - 3(26)}{28 - 26} = \frac{21 - 78}{2} = \frac{-57}{2} = -28.5 \).
  71. Проверяем условие \( x < -20 \): \( -28.5 < -20 \). Условие выполнено.
  72. Если \( k = 27 \): \( x = \frac{21 - 3(27)}{28 - 27} = \frac{21 - 81}{1} = -60 \).
  73. Проверяем условие \( x < -20 \): \( -60 < -20 \). Условие выполнено.
  74. У нас два возможных значения \( x \). Однако, в задачах такого типа обычно предполагается единственное решение. Необходимо найти, какое значение \( k \) (26 или 27) является корректным.
  75. Уточним, что \( k \) — это порядковый номер члена прогрессии, поэтому \( k 1 \).
  76. Проверим, являются ли \( x = -28.5 \) и \( x = -60 \) седьмым членом прогрессии.
  77. Если \( x = -28.5 \) (при \( k=26 \)): \( d = \frac{3 - (-28.5)}{3} = \frac{31.5}{3} = 10.5 \).
  78. \( a_1 = 3x - 6 = 3(-28.5) - 6 = -85.5 - 6 = -91.5 \).
  79. Проверим \( a_7 = a_1 + 6d = -91.5 + 6(10.5) = -91.5 + 63 = -28.5 \). Верно.
  80. Проверим \( a_{26} = a_1 + 25d = -91.5 + 25(10.5) = -91.5 + 262.5 = 171 \).
  81. Нам нужно \( a_k = -6x \). \( -6x = -6(-28.5) = 171 \). Совпадает.
  82. Если \( x = -60 \) (при \( k=27 \)): \( d = \frac{3 - (-60)}{3} = \frac{63}{3} = 21 \).
  83. \( a_1 = 3x - 6 = 3(-60) - 6 = -180 - 6 = -186 \).
  84. Проверим \( a_7 = a_1 + 6d = -186 + 6(21) = -186 + 126 = -60 \). Верно.
  85. Проверим \( a_{27} = a_1 + 26d = -186 + 26(21) = -186 + 546 = 360 \).
  86. Нам нужно \( a_k = -6x \). \( -6x = -6(-60) = 360 \). Совпадает.
  87. Задача не дает оснований выбрать одно из значений \( x \). Проверим, есть ли ограничения на \( k \).