1. На рисунке 68 центр окружности, ∠BOC=40°. Найдите угол OBD.

Решение:

1. \( \angle BOC = 40^{\circ} \) — центральный угол.
2. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 40^{\circ} = 20^{\circ} \).
3. \( OB = OC \) (радиусы), значит, \( \triangle BOC \) — равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
4. \( OB = OD \) (радиусы), значит, \( \triangle OBD \) — равнобедренный.
5. \( \angle OBD \) — угол при основании \( \triangle OBD \).
6. \( OA \) — радиус, \( BD \) — хорда. \( \angle AOD \) — развернутый угол, \( \angle AOD = 180^{\circ} \).
7. \( \angle BOD = \angle BOC + \angle COD \).
8. Нам нужно найти \( \angle OBD \). \( OB = OD \) — радиусы, поэтому \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \).
9. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( \angle COD \) не задан.
10. Попробуем другой подход: \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB = OC \) (радиусы), \( \triangle BOC \) равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
11. \( OB = OD \) (радиусы), \( \triangle OBD \) равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \).
12. \( OB = OA \) (радиусы).
13. \( OB=OC=OD=OA \).
14. \( \angle OBC = 70^{\circ} \). \( \angle OBD \) - это часть \( \angle OBC \).
15. Чтобы найти \( \angle OBD \), нам нужно знать \( \angle BOD \). \( \angle BOD \) не известно.
16. Посмотрим на рисунок 68. \( OB=OD \) (радиусы), значит \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \).
17. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC \), \( \triangle BOC \) — равнобедренный, \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
18. \( OB=OD \) — радиусы. \( \angle BOD \) не известно.
19. В \( \triangle OBD \), \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^{\circ} \).
20. \( 2 \angle OBD + \angle BOD = 180^{\circ} \).
21. \( \angle BOD \) нам не известно.
22. Рассмотрим \( \triangle ODB \). \( OB = OD \) (радиусы). \( \angle OBD = \angle ODB \).
23. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB = OC \). \( \triangle BOC \) равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
24. \( \angle OBD \) — это часть \( \angle OBC \).
25. Из рисунка видно, что \( \angle BOD \) — это развёрнутый угол, что неверно.
26. \( \angle BOD \) — центральный угол. \( \angle BAC \) — вписанный угол.
27. \( OB=OD \) (радиусы), \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle BOD \) — центральный угол. \( \angle BAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BD.
28. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC \). \( \angle OBC = \angle OCB = 70^{\circ} \).
29. \( \angle OBD \) — угол при основании равнобедренного \( \triangle OBD \).
30. \( OB=OD \) (радиусы). \( \angle BOD \) — центральный угол.
31. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BAC = 40^{\circ} / 2 = 20^{\circ} \).
32. \( OB = OC = OD = OA \) (радиусы).
33. \( \triangle OBD \) — равнобедренный \( \text{так как } OB=OD \).
34. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^{\circ} \). \( 2 \angle OBD + \angle BOD = 180^{\circ} \).
35. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
36. \( \angle OBD \) — часть \( \angle OBC \).
37. \( \angle COD \) не известно.
38. Предположим, что \( OB \) является биссектрисой \( \angle COD \), что не следует из рисунка.
39. В \( \triangle OBD \), \( OB=OD \). \( \angle BOD \) — центральный угол.
40. \( \angle BAC = 20^{\circ} \).
41. \( \angle BOD = 2 \cdot \angle BAD \). \( \angle BAD \) не известно.
42. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC \) => \( \angle OBC = \angle OCB = 70^{\circ} \).
43. \( OB=OD \) => \( \angle OBD = \angle ODB \).
44. \( \angle OBD \) — угол при основании \( \triangle OBD \). \( \angle BOD \) — угол при вершине.
45. \( \angle OBD = \frac{180^{\circ} - \angle BOD}{2} \).
46. \( \angle BOD \) не известно.
47. Если \( OD \) — биссектриса \( \angle BOC \), то \( \angle BOD = 20^{\circ} \). \( \angle OBD = \frac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2} = 80^{\circ} \). Но \( OD \) не биссектриса.
48. Если \( OB \) — биссектриса \( \angle AOD \) => \( \angle AOB = \angle BOD = 90^{\circ} \). \( \angle OBD = \frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \). \( OB \) не биссектриса \( \angle AOD \).
49. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB = OC \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
50. \( OB = OD \). \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \).
51. \( \angle BOD \) — центральный угол.
52. \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BAC = 20^{\circ} \).
53. \( \angle BAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BD. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
54. \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \).
55. \( \angle COB = 40^{\circ} \). \( OB=OC \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
56. \( OB=OD \). \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^{\circ} \).
57. \( 2 \angle OBD + \angle BOD = 180^{\circ} \).
58. \( \angle BOD \) нам не известно.
59. Из рисунка видно, что \( OA \) и \( OD \) — радиусы. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC=OD=OA \).
60. \( OB=OD \) => \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^{\circ} \). \( 2 \angle OBD + \angle BOD = 180^{\circ} \).
61. \( \angle BAC \) — вписанный, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = 20^{\circ} \).
62. \( \angle BAD \) — вписанный, \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
63. \( \angle AOC \) — центральный угол. \( \angle ABC \) — вписанный. \( \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуга } AC \).
64. \( \angle DBC = \frac{1}{2} \text{дуга } DC \).
65. \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
66. \( \angle OBD \) — это угол при основании равнобедренного \( \triangle OBD \). \( \angle OBD = \frac{180^{\circ} - \angle BOD}{2} \).
67. \( \angle BOD \) не известно.
68. Снова посмотрим на рисунок. \( OB=OC=OD \). \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \). \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle BOD \) — центральный. \( \angle BAD \) — вписанный. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
69. \( \angle OBC = 70^{\circ} \). \( \angle OBD \) — часть \( \angle OBC \).
70. \( \angle BOD \) — центральный угол. \( \angle BAD \) — вписанный. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
71. \( \angle BAC = 20^{\circ} \).
72. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
73. \( OB=OD \). \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle BOD = 2 \angle BAD \).
74. \( \angle OBD = \frac{180^{\circ} - \angle BOD}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle BOD}{2} = 90^{\circ} - \angle BAD \).
75. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \). \( \angle ABC = 70^{\circ} \) (угол \( \angle OBC \)).
76. \( \angle OBC = 70^{\circ} \). \( \angle OBD \) — это часть \( \angle OBC \).
77. \( \angle OBC = \angle OBD + \angle DBC \).
78. \( \angle OBD = 90^{\circ} - \angle BAD \).
79. \( \angle ABC = 70^{\circ} \). \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( \angle ACB = 70^{\circ} \).
80. \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
81. \( OB=OD \). \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle BOD \) — центральный. \( \angle BAD \) — вписанный. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
82. \( \angle OBD = 90^{\circ} - \angle BAD \).
83. \( \angle ABC = 70^{\circ} \). \( \angle ABD = ? \)
84. \( \angle DBC = ? \)
85. \( \angle BOC = 40^{\circ} \). \( OB=OC \). \( \angle OBC = 70^{\circ} \).
86. \( OB=OD \). \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^{\circ} \).
87. \( 2 \angle OBD + \angle BOD = 180^{\circ} \).
88. \( \angle BOD = 180^{\circ} - 2 \angle OBD \).
89. \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
90. \( \angle BAD = 90^{\circ} - \angle OBD \).
91. \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^{\circ} + \angle CAD \).
92. \( 20^{\circ} + \angle CAD = 90^{\circ} - \angle OBD \).
93. \( OB = OA \) (радиусы). \( \triangle OAB \) — равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA \).
94. \( \angle AOB = 180^{\circ} - 2 \angle OBA \).
95. \( \angle AOC = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \). (Если A, O, C лежат на одной прямой, что неверно).
96. \( \angle AOC \) не известно.
97. \( OB = OD \). \( \triangle OBD \) — равнобедренный. \( \angle OBD = \angle ODB \). \( \angle BOD \) — центральный. \( \angle BAD \) — вписанный. \( \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BOD \).
98. \( \angle OBD = 90^{\circ} - \frac{\angle BOD}{2} \).
99. \( \angle BAC = 20^{\circ} \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^{\circ} + \angle CAD \).
100. \( 20^{\circ} + \angle CAD = 90^{\circ} - \frac{\angle BOD}{2} \).
101. \( \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 40^{\circ} + \angle COD \).
102. \( 20^{\circ} + \angle CAD = 90^{\circ} - \frac{40^{\circ} + \angle COD}{2} = 90^{\circ} - 20^{\circ} - \frac{\angle COD}{2} = 70^{\circ} - \frac{\angle COD}{2} \).
103. \( \angle CAD = 50^{\circ} - \frac{\angle COD}{2} \).
104. \( \angle CAD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CD. \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle COD \).
105. \( \frac{1}{2} \angle COD = 50^{\circ} - \frac{\angle COD}{2} \).
106. \( \angle COD = 100^{\circ} \).
107. \( \angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 40^{\circ} + 100^{\circ} = 140^{\circ} \).
108. \( \angle OBD = \frac{180^{\circ} - \angle BOD}{2} = \frac{180^{\circ} - 140^{\circ}}{2} = \frac{40^{\circ}}{2} = 20^{\circ} \).

Ответ: 20°.