№ 1. На рисунке 68 точка 0 – центр окружности, ∠BOC=40°. Найдите угол OBD.

Решение:

По условию, \( \angle BOC = 40^{\circ} \). Так как \( OB \) и \( OC \) — радиусы окружности, треугольник \( \triangle BOC \) равнобедренный. Следовательно, \( \angle OBC = \angle OCB \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Поэтому:

\[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \]

Угол \( \angle OBD \) — это тот же угол \( \angle OBC \), так как точка \( D \) лежит на луче \( OB \).

Ответ: \( 70^{\circ} \).