1. На рисунке 43 ∠AOD=90°, ∠OAD=20°, ∠OCB=70°. Докажите, что AD=CB. 2. В треугольнике АВС ∠C=90°, СС₁ — высота, СС₁ =5 см, ВС = 10 см. Найдите угол САВ.

1. Доказательство, что AD = CB:

1. В треугольнике AOD: \( \angle AOD = 90^{\circ} \), \( \angle OAD = 20^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle ODA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ} \).
2. В треугольнике OCB: \( \angle COB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \) (как смежные углы).
3. Дано \( \angle OCB = 70^{\circ} \). Тогда \( \angle OBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \).
4. Так как \( \angle OAD = \angle OBC = 20^{\circ} \) и \( \angle ODA = \angle OCB = 70^{\circ} \), треугольники AOD и OCB равны по двум углам и стороне между ними (или по стороне и двум прилежащим углам).
5. Следовательно, AD = CB.

2. Нахождение угла САВ:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник СС₁B. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle CC_1B = 90^{\circ} \).
2. В этом треугольнике известны катеты: \( CC_1 = 5 \) см и \( BC = 10 \) см.
3. Найдём синус угла \( \angle СВС_1 \) (который равен \( \angle CBA \)): \( \sin(\angle CBA) = \frac{CC_1}{BC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
4. Так как \( \sin(\angle CBA) = \frac{1}{2} \), то \( \angle CBA = 30^{\circ} \).
5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Сумма углов в нём равна \( 180^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle CBA = 30^{\circ} \).
6. Следовательно, \( \angle CAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: 1. Доказано, что AD = CB. 2. ∠САВ = 60°.