1. На рисунке 20 ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ADB = 15°, ∠BDC = 75°. Докажите, что AB || DC.

Решение:

1. Анализ углов:
   • В прямоугольном треугольнике BCD, $$ ∠CBD = 90^° - ∠BDC = 90^° - 75^° = 15^° $$.
2. Проверка параллельности:
   • Угол ABC равен сумме углов ABD и CBD: $$ ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD $$.
   • Из условия известно, что $$ ∠BAD = 15^° $$.
   • В прямоугольном треугольнике ABD, $$ ∠ABD = 90^° - ∠BAD = 90^° - 15^° = 75^° $$.
   • Следовательно, $$ ∠ABC = 75^° + 15^° = 90^° $$.
   • Если сумма углов, прилежащих к отрезку BD (односторонние углы при прямых AB и DC и секущей BD), равна $$ 15^° + 75^° = 90^° $$, то прямые AB и DC не параллельны.
   • Однако, если рассматривать секущую BC, то $$ ∠ABC = 90^° $$ и $$ ∠BCD = 90^° $$.
   • Поскольку $$ ∠ABC + ∠BCD = 90^° + 90^° = 180^° $$, то прямые AB и DC параллельны, так как сумма односторонних углов равна 180°.

Доказано.