1. На проценты, вторую — на движение. Девять учеников решили задачу на проценты, и восемь — на движение. Каждый ученик решил хотя бы одну задачу. Сколько человек решили обе задачи? 2. На рисунке изображён график функции f(x) = ax³ + b. Найдите значение x, при котором f(x) = -65. 3. Монету бросили 50 раз. Известно, что орёл выпал 31 раз. Найдите вероятность того, что втором по счёту броске выпала решка. 4. Найдите cos 2a, если cos a = 0,3.

Задание 1. Задачи

Дано:

• Всего учеников: 11
• Решили задачу на проценты: 9
• Решили задачу на движение: 8
• Каждый решил хотя бы одну задачу.

Найти: Сколько человек решили обе задачи?

Решение:

Обозначим:

• P — количество учеников, решивших задачу на проценты.
• D — количество учеников, решивших задачу на движение.
• (P ∩ D) — количество учеников, решивших обе задачи.
• (P ∪ D) — общее количество учеников, решивших хотя бы одну задачу.

По условию, \( P = 9 \), \( D = 8 \), \( P ∪ D = 11 \).

Используем формулу включения-исключения:

\[ |P ∪ D| = |P| + |D| - |P ∩ D| \]

Подставим известные значения:

\[ 11 = 9 + 8 - |P ∩ D| \]

\[ 11 = 17 - |P ∩ D| \]

Теперь найдём \( |P ∩ D| \):

\[ |P ∩ D| = 17 - 11 \]

\[ |P ∩ D| = 6 \]

Ответ: 6 человек решили обе задачи.

Задание 2. График функции

На рисунке изображён график функции \( f(x) = ax^3 + b \). Мы видим, что при \( x = 0 \), \( f(0) = b \). По графику видно, что \( f(0) = 1 \), значит, \( b = 1 \).

Теперь функция имеет вид \( f(x) = ax^3 + 1 \).

Также по графику видно, что при \( x = 1 \), \( f(1) = -1 \). Подставим это значение:

\[ -1 = a(1)^3 + 1 \]

\[ -1 = a + 1 \]

\[ a = -1 - 1 \]

\[ a = -2 \]

Таким образом, функция имеет вид \( f(x) = -2x^3 + 1 \).

Теперь найдём значение \( x \), при котором \( f(x) = -65 \):

\[ -2x^3 + 1 = -65 \]

\[ -2x^3 = -65 - 1 \]

\[ -2x^3 = -66 \]

\[ x^3 = \frac{-66}{-2} \]

\[ x^3 = 33 \]

\[ x = ∛33 \]

Ответ: ∛33

Задание 3. Вероятность

Дано:

• Всего бросков: 50
• Орёл выпал: 31 раз

Найти: вероятность того, что втором по счёту броске выпала решка.

Решение:

Вероятность выпадения решки или орла при каждом отдельном броске монеты не зависит от предыдущих бросков. Это независимые события.

Сначала посчитаем, сколько раз выпала решка:

Решка выпала = Всего бросков - Орёл выпал

Решка выпала = 50 - 31 = 19 раз.

Вероятность того, что в каком-либо конкретном броске (в данном случае, втором по счёту) выпадет решка, равна отношению числа благоприятных исходов (выпадение решки) к общему числу исходов (все броски).

Вероятность (Решка) = Количество выпадений решки / Общее количество бросков

\[ P(\text{решка}) = \frac{19}{50} \]

Можно также выразить в десятичной дроби:

\[ \frac{19}{50} = \frac{19 \times 2}{50 \times 2} = \frac{38}{100} = 0.38 \]

Ответ: 0,38

Задание 4. Косинус двойного угла

Дано:

• \( \text{cos} \text{a} = 0.3 \)

Найти: \( \text{cos} 2\text{a} \)

Решение:

Используем формулу косинуса двойного угла:

\[ \text{cos} 2\text{a} = 2\text{cos}^2\text{a} - 1 \]

Подставим известное значение \( \text{cos} \text{a} = 0.3 \):

\[ \text{cos} 2\text{a} = 2(0.3)^2 - 1 \]

\[ \text{cos} 2\text{a} = 2(0.09) - 1 \]

\[ \text{cos} 2\text{a} = 0.18 - 1 \]

\[ \text{cos} 2\text{a} = -0.82 \]

Ответ: -0,82