1. Между параллельными плоскими металлическими пластинами расстояние 2 см и разность потенциалов 300 В. Как изменится разность потенциалов, если, не меняя заряда, пластины раздвинуть до 6 см? 2. Маленький шарик массой 2·10^-3 кг, подвешенный на тонкой шелковой нити, несёт на себе заряд 3·10^-7 Кл. На какое расстояние снизу к нему следует поднести другой маленький шарик с зарядом 5·10^-7 Кл, чтобы натяжение нити уменьшилось в 2 раза? 3. Два одинаковых воздушных конденсатора ёмкостью 100 пФ соединены последовательно и подключены к источнику тока напряжением 10 В. Как изменится заряд на конденсаторах, если один из них погрузить в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью Е=2? 4. Электрон, обладая начальной скоростью 2·10^6° м/с, проходит в однородном электрическом поле плоского конденсатора по направлению линий напряжённости путь 3 см. При этом скорость электрона уменьшается. Какова электроёмкость плоского конденсатора, если заряд на его пластинах 4,6·10^-8 Кл, а расстояние между ними 5 см? Отношение заряда электрона к его массе 1,76·10^11 Кл/кг.

1. Изменение разности потенциалов между пластинами конденсатора:

Дано:

• Расстояние между пластинами (начальное): $$d_1 = 2$$ см $$ = 0.02$$ м
• Разность потенциалов (начальная): $$U_1 = 300$$ В
• Расстояние между пластинами (конечное): $$d_2 = 6$$ см $$ = 0.06$$ м
• Заряд: $$q = \text{const}$$

Решение:

Связь между напряженностью однородного электрического поля $$E$$, разностью потенциалов $$U$$ и расстоянием $$d$$ выражается формулой:

\[ U = E \times d \]

Для плоского конденсатора напряженность поля связана с плотностью заряда $$\sigma$$ и диэлектрической проницаемостью среды $$\varepsilon$$ (для вакуума или воздуха $$\varepsilon = 1$$) как:

\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \]

где $$\sigma = \frac{q}{S}$$, $$S$$ – площадь пластин.

Таким образом, $$E = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$$.

Подставляя в формулу для $$U$$, получаем:

\[ U = \frac{q}{\varepsilon_0 S} \times d \]

Так как заряд $$q$$, площадь пластин $$S$$ и диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon_0\) остаются постоянными, разность потенциалов $$U$$ прямо пропорциональна расстоянию $$d$$ между пластинами.

Следовательно, если расстояние между пластинами увеличится в 3 раза (с 2 см до 6 см), то и разность потенциалов увеличится в 3 раза.

$$U_2 = U_1 \times \frac{d_2}{d_1} = 300 \text{ В} \times \frac{6 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 300 \text{ В} \times 3 = 900 \text{ В}$$

2. Расстояние между шариками:

Дано:

• Масса первого шарика: $$m_1 = 2 \times 10^{-3}$$ кг
• Заряд первого шарика: $$q_1 = 3 \times 10^{-7}$$ Кл
• Заряд второго шарика: $$q_2 = 5 \times 10^{-7}$$ Кл
• Начальное натяжение нити: $$T_0$$
• Конечное натяжение нити: $$T = \frac{T_0}{2}$$
• Сила тяжести первого шарика: $$F_{g1} = m_1 g$$
• Ускорение свободного падения: $$g \approx 9.8$$ м/с²

Решение:

В начальный момент, когда второй шарик находится далеко, натяжение нити $$T_0$$ уравновешивает силу тяжести первого шарика:

\[ T_0 = F_{g1} = m_1 g \]

Когда второй шарик подносится снизу, на первый шарик действует сила Кулоновского отталкивания $$F_k$$. Натяжение нити $$T$$ в этом случае будет уравновешивать сумму силы тяжести $$F_{g1}$$ и силы отталкивания $$F_k$$ (так как шарики отталкиваются, сила $$F_k$$ направлена вверх, против силы тяжести):

\[ T + F_k = F_{g1} \]

По условию, натяжение нити уменьшилось в 2 раза, то есть $$T = \frac{T_0}{2} = \frac{m_1 g}{2}$$.

Подставляем это в уравнение:

\[ \frac{m_1 g}{2} + F_k = m_1 g \]

Отсюда находим силу Кулоновского отталкивания:

\[ F_k = m_1 g - \frac{m_1 g}{2} = \frac{m_1 g}{2} \]

Сила Кулоновского отталкивания определяется законом Кулона:

\[ F_k = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]

где $$k = 9 \times 10^9$$ Н·м²/Кл² – постоянная Кулона, $$r$$ – расстояние между центрами шариков.

Приравниваем выражения для $$F_k$$:

\[ k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = \frac{m_1 g}{2} \]

Выражаем расстояние $$r$$:

\[ r^2 = \frac{2 k |q_1 q_2|}{m_1 g} \]

$$r = \sqrt{\frac{2 k |q_1 q_2|}{m_1 g}}$$

Подставляем численные значения:

$$r = \sqrt{\frac{2 \times (9 \times 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \times |(3 \times 10^{-7} \text{ Кл}) \times (5 \times 10^{-7} \text{ Кл})|}{(2 \times 10^{-3} \text{ кг}) \times (9.8 \text{ м/с}^2)}}$$

$$r = \sqrt{\frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 15 \times 10^{-14}}{19.6 \times 10^{-3}}}$$

$$r = \sqrt{\frac{270 \times 10^{-5}}{19.6 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{2.7 \times 10^{-3}}{19.6 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{2.7}{19.6}} \approx \sqrt{0.1377} \approx 0.371$$ м

Таким образом, другой шарик следует поднести на расстояние примерно 0.371 метра.

3. Изменение заряда на конденсаторах:

Дано:

• Ёмкость каждого конденсатора: $$C_0 = 100$$ пФ $$= 100 \times 10^{-12}$$ Ф
• Источник тока: $$U = 10$$ В
• Соединение: последовательное
• Диэлектрическая проницаемость: $$\varepsilon = 2$$

Решение:

При последовательном соединении двух конденсаторов $$C_1$$ и $$C_2$$ их общая ёмкость $$C$$ находится по формуле:

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \]

Изначально оба конденсатора воздушные, поэтому $$C_1 = C_2 = C_0$$. Общая ёмкость $$C$$ будет:

\[ \frac{1}{C} = \frac{1}{C_0} + \frac{1}{C_0} = \frac{2}{C_0} \]

$$C = \frac{C_0}{2} = \frac{100 \text{ пФ}}{2} = 50 \text{ пФ}$$

Заряд на каждом конденсаторе при последовательном соединении одинаков и равен заряду на всей батарее конденсаторов:

\[ q = C \times U = 50 \text{ пФ} \times 10 \text{ В} = 500 \text{ пКл} \]

Теперь один из конденсаторов погружают в диэлектрик с \(\varepsilon = 2\). Его ёмкость увеличится:

\[ C'_1 = \varepsilon C_0 = 2 \times 100 \text{ пФ} = 200 \text{ пФ} \]

Ёмкость второго конденсатора остается прежней: $$C'_2 = C_0 = 100$$ пФ.

Новая общая ёмкость $$C'$$ будет:

\[ \frac{1}{C'} = \frac{1}{C'_1} + \frac{1}{C'_2} = \frac{1}{200 \text{ пФ}} + \frac{1}{100 \text{ пФ}} = \frac{1 + 2}{200 \text{ пФ}} = \frac{3}{200 \text{ пФ}} \]

$$C' = \frac{200}{3} \text{ пФ} \approx 66.7 \text{ пФ}$$

Новый заряд на батарее конденсаторов $$q'$$ будет:

\[ q' = C' \times U = \frac{200}{3} \text{ пФ} \times 10 \text{ В} = \frac{2000}{3} \text{ пКл} \approx 667 \text{ пКл} \]

Этот заряд $$q'$$ распределится между конденсаторами. Важно понимать, что при последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе остается одинаковым. То есть, $$q'_1 = q'_2 = q'$$.

Изменение заряда на конденсаторах:

Исходный заряд на каждом конденсаторе: $$q = 500$$ пКл.

Новый заряд на каждом конденсаторе: $$q' \approx 667$$ пКл.

Изменение заряда составит $$q' - q \approx 667 - 500 = 167$$ пКл.

Ответ: Заряд на каждом конденсаторе увеличится примерно до 667 пКл.

4. Электроёмкость плоского конденсатора:

Дано:

• Начальная скорость электрона: $$v_0 = 2 \times 10^6$$ м/с
• Пройденный путь: $$s = 3$$ см $$ = 0.03$$ м
• Заряд на пластинах: $$q = 4.6 \times 10^{-8}$$ Кл
• Расстояние между пластинами: $$d = 5$$ см $$ = 0.05$$ м
• Отношение заряда электрона к массе: $$\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11}$$ Кл/кг

Решение:

Электрон движется в однородном электрическом поле с постоянным замедлением. Работа, совершаемая силой электрического поля, равна изменению кинетической энергии электрона.

\[ A = F s = q E s \]

Изменение кинетической энергии:

\[ \Delta E_k = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 \]

Заметим, что $$F = qE$$. Так как электрон замедляется, его конечная скорость $$v < v_0$$. Работа поля отрицательна:

\[ A = -\Delta E_k \]

$$q E s = - (\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2) = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} m v^2$$

У нас нет конечной скорости $$v$$. Но мы знаем, что работа поля равна изменению кинетической энергии. Можно использовать кинематическое уравнение:

\[ v^2 = v_0^2 + 2as \]

где $$a$$ – ускорение. Сила, действующая на электрон, $$F = ma$$. В данном случае $$F = qE$$. Значит $$a = \frac{qE}{m}$$.

Подставляем $$a$$ в кинематическое уравнение:

\[ v^2 = v_0^2 + 2 \frac{qE}{m} s \]

Умножаем обе части на $$\frac{1}{2}m$$:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 + q E s \]

Это говорит о том, что конечная кинетическая энергия больше начальной, что противоречит условию замедления. Мы перепутали знаки или направления. Работа поля совершается против движения, поэтому она отрицательна. Изменение кинетической энергии равно работе:

\[ A = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} \]

Так как скорость уменьшается, $$E_{k, \text{конечная}} < E_{k, \text{начальная}}$$. Работа $$A$$ должна быть отрицательной.

Сила $$F$$ направлена против движения. $$E = \frac{U}{d}$$. Напряженность поля $$E$$ связана с ускорением $$a = \frac{qE}{m}$$.

Запишем уравнение для кинетической энергии:

\[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 - F s \]

Поскольку скорость уменьшается, $$E_{k, \text{конечная}} < E_{k, \text{начальная}}$$.

Уравнение движения: $$v^2 = v_0^2 + 2as$$. Здесь $$a$$ будет отрицательным.

$$a = -\frac{F}{m} = -\frac{qE}{m}$$.

$$v^2 = v_0^2 - 2\frac{qE}{m} s$$

Мы не знаем конечную скорость $$v$$. Но мы знаем, что электрон прошел путь $$s$$. Максимальная работа, которую может совершить поле, остановив электрон, происходит, когда $$v=0$$.

$$0 = v_0^2 - 2\frac{qE}{m} s_{\text{макс}}$$

$$s_{\text{макс}} = \frac{v_0^2 m}{2qE}$$.

Если $$s < s_{\text{макс}}$$, то электрон не останавливается, а просто замедляется.

Мы можем найти ускорение $$a$$, если знаем, что произошло замедление. Однако, нам нужно найти $$E$$.

Рассмотрим работу:

\[ A = F \times s = q E s \]

Это работа силы, действующей на электрон. Работа силы поля равна изменению кинетической энергии:

\[ A = E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} \]

Мы не знаем конечную скорость. Однако, мы можем рассчитать максимальное расстояние, которое мог бы пролететь электрон до остановки, если бы это было возможно. Но мы знаем, что он прошел 3 см и скорость уменьшилась, т.е. $$v < v_0$$.

Из уравнения $$v^2 = v_0^2 + 2as$$, подставив $$a = \frac{qE}{m}$$ (с учётом того, что $$E$$ направлена против скорости, $$a$$ будет отрицательным):

$$v^2 = v_0^2 - 2\frac{qE}{m} s$$

Мы не знаем $$v$$.

Давайте использовать другое уравнение, связывающее работу и энергию. Работа, совершаемая полем, равна изменению кинетической энергии:

\[ W = ΔE_k \]

$$W = F · s$$. Сила $$F = qE$$. $$W = qEs$$.

$$E_{k, \text{конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = qEs$$

Электрон замедляется, значит $$E_{k, \text{конечная}} < E_{k, \text{начальная}}$$, поэтому $$W$$ должно быть отрицательным.

$$W = -qEs$$

$$ΔE_k = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2$$.

$$-qEs = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2$$.

Если мы не знаем конечную скорость, мы не можем решить это уравнение напрямую.

Попробуем найти напряженность поля $$E$$ другим путем.

Напряженность однородного электрического поля конденсатора $$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{q}{S \varepsilon_0}$$

Электроёмкость плоского конденсатора $$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$$

Из этих двух формул:

$$S = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$$

$$E = \frac{q}{(\frac{Cd}{\varepsilon_0}) \varepsilon_0} = \frac{q}{Cd}$$

Из этого следует, что $$C = \frac{q}{Ed}$$.

Теперь нам нужно найти $$E$$.

Вернёмся к уравнению движения и энергии. Мы знаем, что $$a = \frac{qE}{m}$$.

$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Так как скорость уменьшается, $$a$$ отрицательно. $$a = -|a|$$.

$$v^2 = v_0^2 - 2|a|s$$

Работа поля $$A = F \times s = qE \times s$$. Поскольку поле тормозит, $$E$$ направлена против $$v_0$$, значит $$F$$ направлена против $$v_0$$. $$A = -F s = -qEs$$.

$$\Delta E_k = E_{k,\text{ конечная}} - E_{k, \text{начальная}} = -qEs$$

$$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = -qEs$$

Можем выразить $$E$$ через \(\frac{e}{m}\). $$q=e$$ (заряд электрона).

$$E = \frac{ma}{q} = \frac{ma}{e}$$

$$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 - e \frac{ma}{e} s = \frac{1}{2} m v_0^2 - mas$$

$$v^2 = v_0^2 - 2as$$

Это то же самое уравнение, что и кинематическое. Оно не помогает, если мы не знаем $$v$$.

Перечитаем условие: "скорость электрона уменьшается". Это значит, что работа поля отрицательна.

$$E_{k, \text{конечная}} < E_{k, \text{начальная}}$$

Рассмотрим работу силы, совершаемую полем на пути $$s$$.

\[ W = q E s · α \]

Где \(\alpha\) – угол между силой и перемещением. В данном случае \(\alpha = 180^°\), cos(180) = -1.

$$W = -qEs$$

Изменение кинетической энергии:

\[ ΔE_k = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 \]

$$W = ΔE_k$$

$$-qEs = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2$$

Если электрон прошёл путь $$s=3$$ см и скорость уменьшилась, значит, он ещё не остановился.

У нас есть $$v_0$$, $$s$$, $$q$$, $$d$$, $$\frac{e}{m}$$. Найти $$C$$.

$$C = \frac{q}{Ed}$$.

Нам нужно найти $$E$$.

Рассмотрим ускорение $$a = \frac{qE}{m}$$.

$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Если электрон замедляется, то $$a$$ отрицательно. $$a = - \frac{qE}{m}$$.

$$v^2 = v_0^2 - 2 \frac{qE}{m} s$$

Мы не знаем $$v$$.

Попробуем найти $$E$$ из кинематических уравнений, если предположить, что конечная скорость $$v$$ равна 0. Это даст нам максимальное расстояние, которое пролетел бы электрон. Если $$s$$ меньше этого расстояния, то электрон не остановился.

Если бы электрон остановился, то $$v=0$$:

$$0 = v_0^2 + 2as_{\text{макс}}$$

$$s_{\text{макс}} = -\frac{v_0^2}{2a} = -\frac{v_0^2}{2(-\frac{qE}{m})} = \frac{v_0^2 m}{2qE}$$

Мы знаем $$v_0 = 2 \times 10^6$$ м/с, $$q = 4.6 \times 10^{-8}$$ Кл, $$\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11}$$ Кл/кг. $$m = \frac{e}{1.76 \times 10^{11}}$$.

$$s_{\text{макс}} = \frac{(2 \times 10^6)^2 \times m}{2 \times (4.6 \times 10^{-8}) \times E} = \frac{4 \times 10^{12} \times m}{9.2 \times 10^{-8} E}$$

Если $$s = 0.03$$ м, и скорость уменьшается, то $$s < s_{\text{макс}}$$.

Из $$v^2 = v_0^2 + 2as$$, мы не можем найти $$v$$ без $$E$$.

Давайте рассмотрим работу силы поля. Работа $$A = qE s'$$, где $$s'$$ - перемещение. В нашем случае $$E$$ и $$s$$ перпендикулярны силе тяжести, но направлены вдоль оси движения. Если $$E$$ направлена против $$v_0$$, то $$a$$ отрицательно.

$$v^2 = v_0^2 + 2as$$.

Если бы мы знали конечную скорость $$v$$, мы могли бы найти $$E$$.

Попробуем найти $$E$$ через энергию. Энергия, затраченная на замедление электрона на пути $$s$$.

$$qE s = ΔE_k$$ (без знака минус, т.к. это энергия, которую поле