1) log₅ |x - 1| + log₅ |x + 3| = 1

Решение:

Запишем уравнение: \( \log_{5} |x - 1| + \log_{5} |x + 3| = 1 \).

1. Область определения: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -3 \).
2. Используем свойство логарифма: \( \log_{a} M + \log_{a} N = \log_{a} (M \cdot N) \).
3. \( \log_{5} (|x - 1| \cdot |x + 3|) = 1 \)
4. \( \log_{5} |(x - 1)(x + 3)| = 1 \)
5. По определению логарифма: \( |(x - 1)(x + 3)| = 5^1 \)
6. \( |x^2 + 3x - x - 3| = 5 \)
7. \( |x^2 + 2x - 3| = 5 \)
8. Раскроем модуль. Возможны два случая:
• Случай 1: \( x^2 + 2x - 3 = 5 \)
• \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
• \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)
• \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)
• Случай 2: \( x^2 + 2x - 3 = -5 \)
• \( x^2 + 2x + 2 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \)
• Так как \( D < 0 \), действительных корней в этом случае нет.
• Проверим найденные корни на соответствие области определения: \( x=2 \) и \( x=-4 \) не равны \( 1 \) и \( -3 \).

Ответ: 2, -4.