1. Контрольная работа по геометрии 7 класс. КА-5. Вариант A1. 1. В треугольнике ABC ∠A = 70°, ∠C = 55°. а) докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Отрезок ВМ — высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит у ABC. 2. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что ΔАОС = ΔBOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника. Вариант А2 1. ∠A = 100°, ∠C = 40°.

Решение:

Вариант A1

1. 
   

   а) Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

   
   

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол B:

   
   

   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 70° - 55° = 55° \)

   
   

   Так как \( \angle B = \angle C = 55° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

   
   


2. 
   

   б) Углы, на которые высота ВМ делит угол B:

   
   

   ВМ — высота, значит, \( \angle BMA = 90° \).

   
   

   В прямоугольном треугольнике ABM:

   
   

   \( \angle ABM = 90° - \angle A = 90° - 70° = 20° \)

   
   

   Угол B равен 55°, следовательно:

   
   

   \( \angle CBM = \angle ABC - \angle ABM = 55° - 20° = 35° \)

   
   

   Высота ВМ делит угол B на углы 20° и 35°.

   
   


3. 
   

   а) Доказательство равенства треугольников ΔAOC и ΔBOD:

   
   

   AB и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого отрезка. Это значит, что AO = OB и CO = OD.

   
   

   Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOC = \angle BOD \).

   
   

   По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).

   
   


4. 
   

   б) Нахождение ∠OAC:

   
   

   Рассмотрим треугольник BOD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   
   

   \( \angle BDO = 180° - \angle BOD - \angle ODB \)

   
   

   Из условия \( \angle AOC = 115° \), значит \( \angle BOD = 115° \).

   
   

   \( \angle BDO = 180° - 115° - 20° = 45° \)

   
   

   Так как \( \triangle AOC = \triangle BOD \), то \( \angle CAO = \angle DBO = 20° \) и \( \angle ACO = \angle BDO = 45° \).

   
   

   Следовательно, \( \angle OAC = 20° \).

   
   


5. 
   

   Нахождение длины боковой стороны равнобедренного треугольника:

   
   

   Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см. Одна из сторон равна 16 см.

   
   

   Случай 1: Основание равно 16 см.

   
   

   \( P = a + a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

   
   

   \( 64 = a + a + 16 \)

   
   

   \( 2a = 64 - 16 \)

   
   

   \( 2a = 48 \)

   
   

   \( a = 24 \) см.

   
   

   Случай 2: Боковая сторона равна 16 см.

   
   

   \( P = a + a + b \)

   
   

   \( 64 = 16 + 16 + b \)

   
   

   \( 64 = 32 + b \)

   
   

   \( b = 64 - 32 = 32 \) см.

   
   

   Проверка условия существования треугольника: сумма двух сторон должна быть больше третьей.

   
   

   В первом случае: \( 24 + 24 > 16 \) (верно).

   
   

   Во втором случае: \( 16 + 16 > 32 \) (неверно, 32 не больше 32).

   
   

   Следовательно, возможен только первый случай.

   
   

Вариант А2

1. 
   

   а) Доказательство равнобедренности треугольника ABC:

   
   

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, угол B:

   
   

   \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \)

   
   

   Так как \( \angle B = \angle C = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

   
   

Ответ:

Вариант A1:

• 1. а) Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, так как \( \angle B = \angle C = 55° \).


• 1. б) Высота ВМ делит угол B на углы 20° и 35°.


• 2. а) \( \triangle AOC = \triangle BOD \) по II признаку равенства треугольников (AO=OB, CO=OD, \( \angle AOC = \angle BOD \) — как вертикальные).


• 2. б) \( \angle OAC = 20° \).


• 3. Длина боковой стороны треугольника равна 24 см.

Вариант А2:

• 1. а) Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, так как \( \angle B = \angle C = 40° \).