1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 2. Впишите окружность в данный прямоугольный треугольник.

Задание 1. Вписанный угол

Что такое вписанный угол?

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух других точках. Он опирается на дугу окружности.

Теорема о вписанном угле

Формулировка: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же самую дугу.

Доказательство:

Рассмотрим три случая:

1. Центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла.
   Пусть угол \( \angle ABC \) вписанный, а точка \( O \) — центр окружности. Предположим, что центр \( O \) лежит на стороне \( BC \). Тогда \( OA = OB = OC = R \) (радиусы окружности). \( \triangle OAB \) и \( \triangle OAC \) — равнобедренные.
   \( \angle AOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( AC \). \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. \( \angle AOC \) является внешним углом для \( \triangle OAB \). Следовательно, \( \angle AOC = \angle OAB + \angle OBA \). Поскольку \( \triangle OAB \) равнобедренный, \( \angle OAB = \angle OBA \). Таким образом, \( \angle AOC = 2 \angle OBA = 2 \angle ABC \). Отсюда \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \).
2. Центр окружности лежит внутри вписанного угла.
   Проведем через вершину угла \( B \) и центр окружности \( O \) диаметр \( BD \). Тогда угол \( \angle ABC \) можно разбить на два угла: \( \angle ABD \) и \( \angle DBC \). Оба эти угла относятся к первому случаю. \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD \) и \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC \) (где \( \angle AOD \) и \( \angle DOC \) — центральные углы). Складывая эти равенства, получаем: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle DOC) = \frac{1}{2} \angle AOC \).
3. Центр окружности лежит вне вписанного угла.
   Аналогично предыдущему случаю, проведем через вершину \( B \) и центр \( O \) диаметр \( BD \). Угол \( \angle ABC = \angle ABD - \angle CBD \). По теореме из первого случая, \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD \) и \( \angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD \). Тогда \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOD - \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} (\angle AOD - \angle COD) = \frac{1}{2} \angle AOC \).

Таким образом, теорема доказана для всех случаев.

Задание 2. Вписанная окружность в прямоугольный треугольник

Как вписать окружность?

Чтобы вписать окружность в прямоугольный треугольник, нужно:

1. Найти точку пересечения биссектрис углов треугольника. Эта точка будет центром вписанной окружности.
2. Провести перпендикуляр от центра окружности к любой из сторон треугольника. Длина этого перпендикуляра равна радиусу вписанной окружности.
3. Построить окружность с найденным центром и радиусом.

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

Для прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \) радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Пример построения:

Пояснение к построению:

На чертеже:

• \( A \) — вершина прямого угла.
• \( AB \) и \( AC \) — катеты. \( BC \) — гипотенуза.
• \( O \) — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис).
• Синяя окружность — вписанная окружность.
• Синие линии — радиусы, проведенные к точкам касания.

Ответ: Центра вписанной окружности находится на пересечении биссектрис.