1. Какие из углов, представленных на рисунке, равны? a) ∠GHF = ∠GEF; б) ∠CAD = ∠GEF; в) ∠CAD = ∠GHF. 2. Центральный и вписанный углы опираются на дугу окружности в 80°. Чему равен центральный и вписанный углы? 3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС=80°, угол CAD=45°. Найдите угол ACD. 4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 12 см. Сторона CD равна 38 см. Найди среднюю линию трапеции. 5. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см. 6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 34°, ∠ABD=42° и ∠BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника. 7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. Инструкция к выполнению контрольной работы: К задаче 1 выберите правильный вариант ответа. К задачам 2 и 3 запишите только ответ. К задачам 4 и 5 запишите краткое решение и ответ. К задаче 6 запишите дано, решение и ответ. К задаче 7 постройте рисунок, запишите дано, решение с пояснением и ответ.

1. Равные углы:

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В данном случае, углы ∠GHF и ∠GEF опираются на дугу GF. Поэтому они равны.

Ответ: а) ∠GHF = ∠GEF

2. Центральный и вписанный углы:

Вписанный угол равен половине центрального угла, если они опираются на одну и ту же дугу. Если дуга равна 80°, то:

• Вписанный угол = 80° / 2 = 40°.
• Центральный угол = 80°.

Ответ: Вписанный угол равен 40°, центральный угол равен 80°.

3. Угол ACD:

Дано: ABCD — вписанный четырехугольник, ∠ABC = 80°, ∠CAD = 45°.

Найти: ∠ACD.

Решение:

1. Противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180°. Значит, ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100°.
2. Угол ∠ADC состоит из углов ∠ACD и ∠CAD: ∠ADC = ∠ACD + ∠CAD.
3. Подставляем известные значения: 100° = ∠ACD + 45°.
4. Находим ∠ACD: ∠ACD = 100° - 45° = 55°.

Ответ: 55°

4. Средняя линия трапеции:

Дано: ABCD — прямоугольная трапеция, вписана окружность радиуса r = 12 см. CD = 38 см.

Найти: Среднюю линию трапеции.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, радиус равен половине высоты. Значит, высота трапеции h = 2r = 2 * 12 = 24 см.
2. В прямоугольной трапеции высота, проведенная из вершины угла, прилежащего к основанию, равна разности оснований, деленной на 2, если трапеция равнобедренная. В нашем случае, высота AD = 24 см.
3. Так как трапеция прямоугольная, то AD = BC = 24 см.
4. В прямоугольной трапеции сумма противоположных сторон равна сумме других противоположных сторон. AD + BC = AB + CD.
5. 24 + 24 = AB + 38.
6. AB = 48 - 38 = 10 см.
7. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (AB + CD) / 2.
8. m = (10 + 38) / 2 = 48 / 2 = 24 см.

Ответ: 24 см

5. Радиус окружности:

Дано: Окружность с центром O, касательная AB, секущая AO. AB = 12 см, AO = 13 см.

Найти: Радиус окружности.

Решение:

1. Так как AB — касательная, то радиус OB, проведенный в точку касания B, перпендикулярен касательной. Треугольник ABO — прямоугольный с прямым углом ∠ABO.
2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABO: AO^2 = AB^2 + OB^2.
3. 13^2 = 12^2 + OB^2.
4. 169 = 144 + OB^2.
5. OB^2 = 169 - 144 = 25.
6. OB = √25 = 5 см. OB — это радиус окружности.

Ответ: 5 см

6. Углы четырёхугольника:

Дано: ABCD — вписанный четырехугольник. ∠DBC = 34°, ∠ABD = 42°, ∠BDC = 52°.

Найти: Углы четырёхугольника.

Решение:

1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
2. ∠CAD = ∠CBD = 34° (опираются на дугу CD).
3. ∠BAC = ∠BDC = 52° (опираются на дугу BC).
4. ∠ACB = ∠ADB (опираются на дугу AB).
5. ∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = ∠ADC - 52°.
6. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 42° + 34° = 76°.
7. ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 76° = 104°.
8. ∠ADB = 104° - 52° = 52°.
9. ∠ACB = 52°.
10. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = 52° + ∠ACD.
11. ∠CAD = 34°.
12. ∠ACD = 180° - ∠CAD - ∠ADC = 180° - 34° - 104° = 42°. (неверно, так как ∠ADC = 100. ∠ACD = 100 - 45 = 55).
13. ∠BCD = 52° + 55° = 107°.
14. Углы четырёхугольника:
15. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 52° + 34° = 86°.
16. ∠B = 76°.
17. ∠C = 107°.
18. ∠D = 104°.
19. Проверка: 86° + 76° + 107° + 104° = 373° (ошибка в расчетах).
20. Пересчитаем:
21. ∠A = ∠BAC + ∠CAD.
22. ∠BAC = ∠BDC = 52° (опираются на дугу BC).
23. ∠CAD = ∠CBD = 34° (опираются на дугу CD).
24. ∠A = 52° + 34° = 86°.
25. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 42° + 34° = 76°.
26. ∠C = 180° - ∠A = 180° - 86° = 94°.
27. ∠ADC = 180° - ∠B = 180° - 76° = 104°.
28. Проверим углы, опирающиеся на диагонали:
29. ∠BDC = 52° (дано).
30. ∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 104° - 52° = 52°.
31. ∠ACB = ∠ADB = 52° (опираются на дугу AB).
32. ∠DBC = 34° (дано).
33. ∠ABC = 76°.
34. ∠ABD = 42°.
35. ∠DBC = 34°.
36. ∠ABC = 42° + 34° = 76°.
37. ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD.
38. ∠ACD = ∠ABD = 42° (опираются на дугу AD).
39. ∠BCD = 52° + 42° = 94°.
40. Проверка: ∠A = 86°, ∠B = 76°, ∠C = 94°, ∠D = 104°.
41. Сумма углов: 86 + 76 + 94 + 104 = 360°.

Ответ: ∠A = 86°, ∠B = 76°, ∠C = 94°, ∠D = 104°.

7. Радиус второй окружности:

Дано: Большая окружность с центром O, радиус R = 10 см. Точка А на диаметре, OA = 5 см. Малая окружность касается диаметра в точке А и изнутри касается большой окружности.

Найти: Радиус малой окружности r.

Решение:

1. Пусть центр малой окружности будет O1. Так как малая окружность касается диаметра в точке А, то ее центр O1 лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А.
2. Так как малая окружность касается большой окружности изнутри, то центры O и O1 и точка касания лежат на одной прямой.
3. Расстояние от центра большой окружности O до центра малой окружности O1 равно разности их радиусов: OO1 = R - r.
4. Точка А находится на расстоянии 5 см от центра O.
5. Если малая окружность касается диаметра в точке А, то расстояние от O1 до А равно радиусу r.
6. Рассмотрим два случая:
7. Случай 1: Центр O1 находится между O и A. Тогда OA = OO1 + O1A. 5 = (10 - r) + r. 5 = 10. Это невозможно.
8. Случай 2: Центр O находится между O1 и A. Тогда O1A = O1O + OA. r = (10 - r) + 5. r = 15 - r. 2r = 15. r = 7.5 см.
9. Случай 3: Центр A находится между O и O1. Тогда O1O = O1A + AO. 10 - r = r + 5. 2r = 5. r = 2.5 см.
10. Проверим случай 3: Малая окружность касается диаметра в точке А. Значит, расстояние от O1 до А равно r. Если O1 находится на прямой, перпендикулярной диаметру в точке А, то O1A = r. Центр O1 лежит на прямой, проходящей через O и точку касания.
11. Пусть центр большой окружности O=(0,0). Диаметр лежит на оси x. Тогда A=(5,0) или A=(-5,0). Возьмем A=(5,0).
12. Малая окружность касается большой изнутри. Значит, расстояние между центрами OO1 = R - r = 10 - r.
13. Малая окружность касается диаметра в точке А. Центр O1 лежит на перпендикуляре к диаметру в точке А. Если диаметр на оси x, то O1=(5, y). Тогда расстояние от O1 до оси x равно |y|. Это и есть радиус r.
14. O1=(5, r) или O1=(5, -r). Возьмем O1=(5, r).
15. Расстояние OO1: √((5-0)^2 + (r-0)^2) = 10 - r.
16. √(25 + r^2) = 10 - r.
17. Возведем в квадрат обе части: 25 + r^2 = (10 - r)^2 = 100 - 20r + r^2.
18. 25 = 100 - 20r.
19. 20r = 100 - 25 = 75.
20. r = 75 / 20 = 15 / 4 = 3.75 см.

Ответ: 3.75 см