1. Какие из углов, представленных из рисунке, равны 90°? a) ∠MNO б) ∠SKT в) правильного варианта ответа нет. 2. Центральный и вписанный уголы опираются на дугу окружности в 60°. Чему равны центральный и вписанный углы? 3. Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. Угол КНР=35°, угол КНР=45°. Найдите угол КМН. 4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 9 см. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции. 5. К окружности с центром в точке О проведены касательная MH и секущая MO. Найдите радиус окружности, если MH = 4 см. MO = 5 см. 6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC=27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника. 7*. В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстояние 6 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. Инструкция к выполнению контрольной работы: К задаче 1 выберите правильный вариант ответа. К задачам 2 и 3 запишите только ответ. К задачам 4 и 5 запишите краткое решение и ответ. К задаче 6 запишите дано, решение и ответ. К задаче 7 постройте рисунок, запишите дано, решение с пояснением в ответ.

Задание 1. Углы в окружности

На рисунке изображена окружность с вписанным четырёхугольником. Углы, вписанные в окружность, опираются на дугу. Если вписанный угол равен 90°, то он опирается на полуокружность, то есть его стороны являются диаметрами. Центральный угол, опирающийся на полуокружность, также равен 90°.

Угол ∠MNO вписанный. Чтобы определить, равен ли он 90°, нужно посмотреть, на какую дугу он опирается. По рисунку видно, что ни один из углов не опирается на диаметр, поэтому правильный ответ — в).

Ответ: в) правильного варианта ответа нет.

Задание 2. Центральный и вписанный углы

Дано: Дуга окружности = 60°.

Найти: Центральный и вписанный углы.

Решение:

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен величине этой дуги. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине величины этой дуги.

Центральный угол = 60°.

Вписанный угол = 60° / 2 = 30°.

Ответ: Центральный угол 60°, вписанный угол 30°.

Задание 3. Вписанный четырёхугольник

Дано:

• Четырёхугольник КМНР вписан в окружность.
• ∠КНР = 35°.
• ∠НСP = 45°.

Найти: ∠КМН.

Решение:

Четырёхугольник КМНР вписан в окружность. Противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.

∠КМН + ∠КНР = 180°

∠КМН = 180° - ∠КНР

∠КМН = 180° - 35° = 145°.

Угол ∠НСР не является углом четырёхугольника КМНР. Возможно, в условии ошибка, и имелся в виду угол ∠КМР или ∠МНР. Если угол ∠КМР = 45°, то ∠КНР = 180° - 45° = 135°, что противоречит условию ∠КНР = 35°. Предполагаем, что в условии была ошибка и ∠КНР = 35°.

Ответ: 145°.

Задание 4. Прямоугольная трапеция с вписанной окружностью

Дано:

• Трапеция ABCD — прямоугольная.
• ∠A = 90°.
• Вписана окружность радиусом \( r = 9 \) см.
• CD = 24 см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции высота равна меньшему основанию. Так как окружность вписана, её диаметр равен высоте трапеции.
2. Диаметр окружности \( d = 2r = 2 \times 9 = 18 \) см.
3. Следовательно, высота трапеции AB = 18 см.
4. В трапеции с вписанной окружностью сумма противоположных сторон равна: \( AB + CD = AD + BC \).
5. Так как трапеция прямоугольная, AB = CD. Это неверно. AB — высота, CD — большее основание.
6. В прямоугольной трапеции высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, делит его на два отрезка. Опустим высоту из вершины C на CD. Пусть точка пересечения будет H. Тогда ABCH — прямоугольник, AH = BC, CH = AB = 18.
7. В трапеции с вписанной окружностью сумма оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция прямоугольная, то AD + BC = AB + CD.
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. BC — гипотенуза. CH = 18. HB = CD - AH.
9. Из свойства вписанной окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. В прямоугольной трапеции, если высота равна одному из оснований (меньшему), то \( AD + BC = AB + CD \).
10. Если окружность вписана в трапецию, то высота равна диаметру окружности. \( h = 2r = 18 \) см. В прямоугольной трапеции высота равна меньшему основанию, значит, \( AD = 18 \) см.
11. Теперь применим свойство: \( AD + BC = AB + CD \).
12. \( 18 + BC = 18 + 24 \) (здесь AB — другая высота, но в прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой).
13. Сумма оснований равна удвоенной высоте: \( AD + BC = 2h \). \( 18 + BC = 2 \times 18 = 36 \)
14. \( BC = 36 - 18 = 18 \) см.
15. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AD + BC}{2} \)
16. \( m = \frac{18 + 18}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) см.
17. Проверка: \( AB + CD = 18 + 24 = 42 \). \( AD + BC = 18 + 18 = 36 \). Это не совпадает.
18. Пересмотрим условие: окружность радиусом 9 см вписана в прямоугольную трапецию ABCD (∠A=90°). Это значит, что высота трапеции равна диаметру, то есть \( h = 2 \times 9 = 18 \) см. В прямоугольной трапеции высота — это одна из боковых сторон, например, AB = 18 см.
19. Сумма противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна: \( AD + BC = AB + CD \).
20. \( AD + BC = 18 + 24 = 42 \) см.
21. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( m = \frac{AD + BC}{2} \).
22. \( m = \frac{42}{2} = 21 \) см.

Ответ: 21 см.

Задание 5. Касательная и секущая

Дано:

• Окружность с центром О.
• MH — касательная, \( MH = 4 \) см.
• MO — секущая, \( MO = 5 \) см.

Найти: радиус окружности.

Решение:

Так как MH — касательная, проведенная из точки M к окружности, а О — центр окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠OMH = 90°.

В прямоугольном треугольнике OMH:

OH — катет (радиус окружности, который нам нужно найти).

MH — катет = 4 см.

MO — гипотенуза = 5 см.

По теореме Пифагора:

\[ OH^2 + MH^2 = MO^2 \]

\[ OH^2 + 4^2 = 5^2 \]

\[ OH^2 + 16 = 25 \]

\[ OH^2 = 25 - 16 \]

\[ OH^2 = 9 \]

\[ OH = √{9} = 3 \) см.

Ответ: 3 см.

Задание 6. Вписанный четырёхугольник

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠DBC = 27°.
• ∠ABD = 61°.
• ∠BDC = 73°.

Найти: углы четырёхугольника ABCD.

Решение:

1. Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠CAD = ∠CBD = 27° (опираются на дугу CD).

∠BAC = ∠BDC = 73° (опираются на дугу BC).

∠ADB = ∠ACB (опираются на дугу AB).

∠ACD = ∠ABD = 61° (опираются на дугу AD).

2. Найдём углы четырёхугольника:

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC. Нам нужен ∠ADB. Его можно найти из треугольника ABD, но нам не известны другие углы. Давайте найдём угол ACB.

∠ACB = ∠ADB (опираются на дугу AB).

∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = ∠BCA + 61°.

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.

3. Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма противоположных углов равна 180°.

∠BAD + ∠BCD = 180° => 100° + ∠BCD = 180° => ∠BCD = 80°.

Теперь найдём ∠ACB:

∠BCD = ∠ACB + ∠ACD

80° = ∠ACB + 61°

∠ACB = 80° - 61° = 19°.

∠ADB = ∠ACB = 19° (опираются на дугу AB).

∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 19° + 73° = 92°.

Проверим сумму противоположных углов:

∠ABC + ∠ADC = 88° + 92° = 180°.

∠BAD + ∠BCD = 100° + 80° = 180°.

Все углы найдены.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• ∠DBC = 27°.
• ∠ABD = 61°.
• ∠BDC = 73°.

Решение:

1. ∠BAC = ∠BDC = 73° (опираются на дугу BC).

2. ∠CAD = ∠CBD = 27° (опираются на дугу CD).

3. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 73° + 27° = 100°.

4. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 61° + 27° = 88°.

5. Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма противоположных углов равна 180°.

∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 100° = 80°.

∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 88° = 92°.

6. Проверим полученные значения, найдя часть углов из треугольников.

В треугольнике BCD: ∠CBD = 27°, ∠BDC = 73°. ∠BCD = 180° - (27° + 73°) = 180° - 100° = 80°. (Совпадает)

В треугольнике ABD: ∠ABD = 61°, ∠ADB. Нам нужно найти ∠ADB. Мы знаем ∠ADC = 92°, поэтому ∠ADB = ∠ADC - ∠BDC = 92° - 73° = 19°.

В треугольнике ABD: ∠BAD = 100°, ∠ABD = 61°, ∠ADB = 19°. Сумма углов = 100° + 61° + 19° = 180°. (Совпадает)

7. Найдём оставшиеся углы:

∠ACD = ∠ABD = 61° (опираются на дугу AD).

∠ACB = ∠BCD - ∠ACD = 80° - 61° = 19°.

∠ADB = ∠ACB = 19° (опираются на дугу AB). (Совпадает)

Ответ: ∠BAD = 100°, ∠ABC = 88°, ∠BCD = 80°, ∠ADC = 92°.

Задание 7. Окружности, касающиеся друг друга

Дано:

• Большая окружность с центром O и радиусом \( R = 12 \) см.
• Точка А на диаметре, OA = 6 см.
• Маленькая окружность касается большого диаметра в точке А.
• Маленькая окружность касается большой окружности изнутри.

Найти: радиус маленькой окружности \( r \).

Рисунок:

Решение:

1. Диаметр большой окружности проходит через центр O. Точка А находится на расстоянии 6 см от центра. Значит, OA = 6 см.

2. Маленькая окружность касается большого диаметра в точке А. Это означает, что центр маленькой окружности будет находиться на той же прямой (на диаметре), и расстояние от A до центра маленькой окружности будет равно её радиусу \( r \).

3. Маленькая окружность касается большой окружности изнутри. Это значит, что расстояние между центрами больших и маленькой окружностей равно разности их радиусов: \( |R - r| \). В нашем случае, так как маленькая окружность внутри большой, расстояние между центрами равно \( R - r \).

4. Центр большой окружности — O. Центр маленькой окружности (назовём его O') находится на диаметре. Точка А лежит между O и краем большой окружности, так как OA = 6 см, а радиус большой окружности R = 12 см.

5. Расстояние от центра O до центра O' будет \( OO' \). У нас есть два варианта расположения O' относительно O:

• Если O' находится между O и A: \( OO' = OA - O'A = 6 - r \).
• Если A находится между O и O': \( OO' = OA + AO' = 6 + r \).

6. Так как маленькая окружность касается большой изнутри, расстояние между их центрами равно разности радиусов: \( OO' = R - r = 12 - r \).

7. Рассмотрим первый случай: \( OO' = 6 - r \). Приравниваем к \( 12 - r \): \( 6 - r = 12 - r \). Это приводит к \( 6 = 12 \), что невозможно. Значит, центр маленькой окружности не может находиться между O и A.

8. Рассмотрим второй случай: \( OO' = 6 + r \). Приравниваем к \( 12 - r \): \( 6 + r = 12 - r \).

\[ 2r = 12 - 6 \]

\[ 2r = 6 \]

\[ r = 3 \) см.

Дано:

• Большая окружность: центр O, радиус \( R = 12 \) см.
• Точка А на диаметре, OA = 6 см.
• Маленькая окружность: центр O', касается большого диаметра в точке А, касается большой окружности изнутри.

Решение:

1. По условию, маленькая окружность касается большого диаметра в точке А. Это означает, что центр O' маленькой окружности лежит на диаметре, и расстояние O'A равно радиусу маленькой окружности \( r \).

2. Маленькая окружность касается большой окружности изнутри. Расстояние между их центрами равно разности радиусов: \( OO' = R - r \). В нашем случае \( OO' = 12 - r \).

3. Точка А находится на расстоянии 6 см от центра O (OA = 6). Поскольку маленькая окружность касается большого диаметра в точке А, её центр O' будет лежать на прямой, проходящей через O и A.

4. Есть два варианта расположения O' относительно O и A: O' между O и A, или A между O и O'.

5. Если O' между O и A, то \( OO' = OA - O'A = 6 - r \). Приравнивая к \( 12 - r \), получаем \( 6 - r = 12 - r \), что невозможно.

6. Следовательно, A лежит между O и O' (или O' лежит дальше от O, чем A). Тогда \( OO' = OA + AO' = 6 + r \).

7. Приравниваем два выражения для \( OO' \):

\[ 6 + r = 12 - r \]

\[ 2r = 12 - 6 \]

\[ 2r = 6 \]

\[ r = 3 \) см.

Ответ: 3 см.