1. Известно, что logₐ 27 = b. Найдите log_√3 ∛a

Решение:

Дано: \( \log_a 27 = b \).

Найти: \( \log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{a} \).

1. Выразим \( a \) из первого условия. \( \log_a 27 = b \) означает \( a^b = 27 \).
2. Выразим \( a \) через \( b \): \( a = 27^{1/b} \).
3. Подставим это значение \( a \) во второе выражение: \( \log_{\sqrt{3}} \sqrt[6]{27^{1/b}} \).
4. Упростим выражение под логарифмом: \( \sqrt[6]{27^{1/b}} = (27^{1/b})^{1/6} = 27^{1/(6b)} = (3^3)^{1/(6b)} = 3^{3/(6b)} = 3^{1/(2b)} \).
5. Теперь логарифм имеет вид: \( \log_{\sqrt{3}} 3^{1/(2b)} \).
6. Запишем основание логарифма как степень тройки: \( \sqrt{3} = 3^{1/2} \).
7. Используем свойство логарифма \( \log_{c^k} m^p = \frac{p}{k} \log_c m \). В нашем случае \( c = 3 \), \( k = 1/2 \), \( m = 3 \), \( p = 1/(2b) \).
8. Применим свойство: \( \log_{3^{1/2}} 3^{1/(2b)} = \frac{1/(2b)}{1/2} \log_3 3 \).
9. Так как \( \log_3 3 = 1 \), получаем: \( \frac{1/(2b)}{1/2} = \frac{1}{2b} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{b} \).

Ответ: \( \frac{1}{b} \).