1. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1. 1) Найдите вектор, равный сумме векторов BA и DD1. 2) Найдите вектор, равный AB - C1C. Упростите выражение: LP+MS-NE+PL+SE

Задание 1. Изображение параллелепипеда

Для изображения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ нарисуем два основания ABCD и A₁B₁C₁D₁, где A₁ лежит над A, B₁ над B и так далее. Соединим соответствующие вершины отрезками AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Эти отрезки параллельны и равны по длине.

Задание 1.1. Сумма векторов

Дано: параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Найти: вектор, равный сумме векторов \( \vec{BA} + \vec{DD_1} \).

Решение:

В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны. Следовательно, вектор \( \vec{DD_1} \) равен вектору \( \vec{AA_1} \) и \( \vec{BB_1} \). Также вектор \( \vec{BA} \) равен вектору \( \vec{CD} \) и \( \vec{C_1D_1} \).

Вектор \( \vec{BA} \) равен вектору \( \vec{C_1D_1} \). Вектор \( \vec{DD_1} \) равен вектору \( \vec{CC_1} \).

Таким образом, \( \vec{BA} + \vec{DD_1} = \vec{C_1D_1} + \vec{CC_1} \). По правилу сложения векторов (правило треугольника или параллелограмма), сумма векторов \( \vec{C_1D_1} + \vec{D_1C_1} \) равна вектору \( \vec{C_1C} \).

Поскольку \( \vec{DD_1} = \vec{AA_1} \), то \( \vec{BA} + \vec{AA_1} \). По правилу треугольника, \( \vec{BA} + \vec{AA_1} = \vec{BA_1} \).

Ответ: \( \vec{BA_1} \).

Задание 1.2. Разность векторов

Дано: параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

Найти: вектор, равный \( \vec{AB} - \vec{C_1C} \).

Решение:

Вектор \( \vec{C_1C} \) равен вектору \( \vec{D_1D} \) и \( \vec{B_1B} \).

Тогда \( \vec{AB} - \vec{C_1C} = \vec{AB} - \vec{B_1B} \).

Чтобы вычесть векторы, нужно привести их к одному началу. Вектор \( \vec{AB} \) равен вектору \( \vec{D_1C_1} \). Вектор \( \vec{B_1B} \) равен вектору \( \vec{A_1A} \).

\( \vec{AB} - \vec{C_1C} \). Так как \( \vec{C_1C} = \vec{AA_1} \), то \( \vec{AB} - \vec{AA_1} \).

Применяем правило вычитания векторов: \( \vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{A_1B} \).

Ответ: \( \vec{A_1B} \).

Задание 1.3. Упрощение выражения

Дано: выражение \( \vec{LP} + \vec{MS} - \vec{NE} + \vec{PL} + \vec{SE} \).

Решение:

Сгруппируем векторы с противоположными направлениями: \( \vec{LP} + \vec{PL} = \vec{LP} - \vec{LP} = \vec{0} \).

Теперь упростим оставшуюся часть: \( \vec{MS} - \vec{NE} + \vec{SE} \).

Перепишем: \( \vec{MS} + \vec{EN} + \vec{SE} \).

По правилу сложения векторов: \( \vec{MS} + \vec{SE} = \vec{ME} \).

Теперь у нас есть \( \vec{ME} + \vec{EN} \). По правилу сложения векторов (правилу треугольника), \( \vec{ME} + \vec{EN} = \vec{MN} \).

Ответ: \( \vec{MN} \).