№1. Из пункта А в пункт Б по течению реки направился плот. Через час в том же направлении вслед за плотом отправился катер. После прибытия в пункт Б катер сразу повернул обратно и вернулся в пункт А. К этому моменту плот прошёл уже 80 км. Расстояние же между пунктами А и Б составляет 180 км, а скорость течения реки равна 5 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде.

Давай разберемся с этой задачей пошагово!

Что нам известно:

• Расстояние между пунктами А и Б: 180 км.
• Скорость течения реки: 5 км/ч.
• Плот плывет по течению.
• Катер сначала плывет по течению, а потом обратно против течения.
• Когда катер вернулся в пункт А, плот прошел 80 км.

Шаг 1: Найдем время, которое плот был в пути.

Плот прошел 80 км со скоростью течения реки (так как это плот). Значит, время в пути для плота:

• \[ \text{Время плота} = \frac{\text{Расстояние, пройденное плотом}}{\text{Скорость течения}} \]
• \[ \text{Время плота} = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ км/ч}} = 16 \text{ часов} \]

Шаг 2: Найдем время, которое катер был в пути.

Катер отправился через час после плота и вернулся в пункт А. Плот был в пути 16 часов. Значит, катер был в пути:

• \[ \text{Время катера} = \text{Время плота} - 1 \text{ час} \]
• \[ \text{Время катера} = 16 \text{ часов} - 1 \text{ час} = 15 \text{ часов} \]

Шаг 3: Найдем скорость катера по течению и против течения.

Пусть:

• \[ v_к \text{ - скорость катера в неподвижной воде} \]
• \[ v_т \text{ - скорость течения реки} = 5 \text{ км/ч} \]

Тогда:

• Скорость катера по течению: \[ v_{к+т} = v_к + v_т = v_к + 5 \]
• Скорость катера против течения: \[ v_{к-т} = v_к - v_т = v_к - 5 \]

Шаг 4: Составим уравнение, используя время и расстояние.

Катер сначала плыл 1 час по течению, а затем вернулся обратно против течения. Общее время в пути 15 часов. Расстояние от А до Б = 180 км.

• Время движения катера по течению: \[ t_{по} = \frac{180}{v_к + 5} \]
• Время движения катера против течения: \[ t_{против} = \frac{180}{v_к - 5} \]

Общее время катера:

• \[ t_{по} + t_{против} = 15 \text{ часов} \]
• \[ \frac{180}{v_к + 5} + \frac{180}{v_к - 5} = 15 \]

Шаг 5: Решим уравнение.

Разделим обе части уравнения на 15:

• \[ \frac{180/15}{v_к + 5} + \frac{180/15}{v_к - 5} = 15/15 \]
• \[ \frac{12}{v_к + 5} + \frac{12}{v_к - 5} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю:

• \[ \frac{12(v_к - 5) + 12(v_к + 5)}{(v_к + 5)(v_к - 5)} = 1 \]
• \[ \frac{12v_к - 60 + 12v_к + 60}{v_к^2 - 25} = 1 \]
• \[ \frac{24v_к}{v_к^2 - 25} = 1 \]

Теперь перенесем все в одну сторону:

• \[ 24v_к = v_к^2 - 25 \]
• \[ v_к^2 - 24v_к - 25 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

• \[ D = b^2 - 4ac \]
• \[ D = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \]

Найдем корни:

• \[ v_{к1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \times 1} = \frac{50}{2} = 25 \]
• \[ v_{к2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \times 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень.

Ответ: 25 км/ч