1) Исследование функции в промежутке: \(y=\begin{cases}x^2+4x+4,\ x\ge -4,\\ -\dfrac{16}{x},\ x<-4.\end{cases}\)

Рассмотрим функцию \(y=\begin{cases}x^2+4x+4, & x\ge -4,\\ -\dfrac{16}{x}, & x<-4.\end{cases}\)

1. Область определения: обе части определены на своих промежутках, поэтому \(D(y)=(-\infty; +\infty)\).
2. Непрерывность в точке склейки \(x=-4\):
   \(y(-4)=(-4)^2+4(-4)+4=4\).
   \(\displaystyle\lim_{x\to-4-}\left(-\frac{16}{x}\right)=4\), а \(\displaystyle\lim_{x\to-4+}(x^2+4x+4)=4\).
   Следовательно, функция непрерывна при \(x=-4\), а значит, непрерывна на всей числовой прямой.
3. Производная и монотонность:
   При \(x<-4\): \(y'=\dfrac{16}{x^2}>0\), поэтому функция возрастает на \((-;-4)\).
   При \(x\ge-4\): \(y'=2x+4=2(x+2)\). Поэтому функция убывает на \([-4;-2]\) и возрастает на \([-2;+)\).
4. Экстремум:
   В точке \(x=-2\) производная меняет знак с «−» на «+».
   \(y(-2)=(-2)^2+4(-2)+4=0\).
   Следовательно, точка \((-2;0)\) является точкой минимума, а наименьшее значение функции равно \(0\).
   В точке \(x=-4\) экстремума нет: слева функция возрастает, а справа убывает.
5. Нули функции:
   Для первой части: \(x^2+4x+4=(x+2)^2=0\), откуда \(x=-2\).
   Вторая часть \(-16/x=0\) решений не имеет.
   График пересекает ось \(Ox\) в точке \((-2;0)\).
6. Знак функции: \(y>0\) при \(x\ne-2\), \(y=0\) при \(x=-2\).
7. Область значений: первая часть принимает значения \([0;+)\), а вторая — значения \((0;4)\). Поэтому \(E(y)=[0;+)\).
8. Асимптота: при \(x\to-\infty\) \(y=-16/x\to0\), поэтому прямая \(y=0\) является горизонтальной асимптотой слева.

Ответ: функция непрерывна на \(\mathbb R\); возрастает на \((-;-4)\) и \([-2;+)\), убывает на \([-4;-2]\); имеет минимум \(y_{\min}=0\) при \(x=-2\); нуль функции \(x=-2\); \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[0;+)\).