1. \(\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}dx\)

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом разложения на простейшие дроби.

Представим дробь \( \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)} \) в виде суммы простейших дробей:

\[ \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \]\[ 2x+1 = A(x+2) + B(x-1) \]

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \( x \):

• При \( x^1 \): \( 2 = A + B \)
• При \( x^0 \): \( 1 = 2A - B \)

Сложим два уравнения:

\[ (2 = A + B) + (1 = 2A - B) \]\[ 3 = 3A \]\[ A = 1 \]

Подставим \( A = 1 \) в первое уравнение:

\[ 2 = 1 + B \]\[ B = 1 \]

Теперь интеграл примет вид:

\[ \int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}dx = \int \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+2} \right) dx \]

Интегрируем каждую часть:

\[ \int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1 \]\[ \int \frac{1}{x+2} dx = \ln|x+2| + C_2 \]

Суммируем результаты:

\[ \int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}dx = \ln|x-1| + \ln|x+2| + C \]

Используя свойство логарифмов \( \ln a + \ln b = \ln(ab) \), получаем:

\[ \int \frac{2x+1}{(x-1)(x+2)}dx = \ln|(x-1)(x+2)| + C \]

Ответ: \( \ln|(x-1)(x+2)| + C \)