1. Графики движения двух тел представлены на рисунке 96. Напишите уравнения движения x = x(t) этих тел. Определите место и время их встречи графически и аналитически (с помощью уравнений движения).

Решение:

На рисунке 96 изображены графики движения двух тел. Ось абсцисс (t) — время в секундах (с), ось ординат (x) — координата в метрах (м).

Тело 1:

График движения первого тела — прямая, проходящая через точки \( (0, 8) \) и \( (2, 0) \).

Уравнение движения имеет вид \( x_1(t) = v_1 t + x_{01} \).

Из графика видно, что начальная координата \( x_{01} = 8 \) м.

Найдем скорость \( v_1 \): \( v_1 = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 8}{2 - 0} = \frac{-8}{2} = -4 \) м/с.

Уравнение движения первого тела: \( x_1(t) = -4t + 8 \).

Тело 2:

График движения второго тела — прямая, проходящая через точки \( (0, 0) \) и \( (2, 4) \).

Уравнение движения имеет вид \( x_2(t) = v_2 t + x_{02} \).

Из графика видно, что начальная координата \( x_{02} = 0 \) м.

Найдем скорость \( v_2 \): \( v_2 = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2 \) м/с.

Уравнение движения второго тела: \( x_2(t) = 2t \).

Встреча тел:

Графически:

Встреча тел происходит в точке пересечения графиков. Графики пересекаются при \( t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) с.

Найдем координату в момент встречи: \( x = 2t = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \) м.

Аналитически:

Место и время встречи определим, приравняв уравнения движения:

\( x_1(t) = x_2(t) \)

\( -4t + 8 = 2t \)

\( 8 = 6t \)

\( t = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) с.

Найдем координату в момент встречи, подставив \( t = \frac{4}{3} \) во второе уравнение:

\( x = 2t = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \) м.

Ответ: Уравнения движения: \( x_1(t) = -4t + 8 \) м и \( x_2(t) = 2t \) м. Время встречи: \( t = \frac{4}{3} \) с. Место встречи: \( x = \frac{8}{3} \) м.