1. Формулы объема цилиндра, конуса 2. Исследование функции по схеме. 3. Примеры: 1) Вычислите lim x+3 x→3 x³-4 lim 2x²+6x+5 x²-25

1. Формулы объема цилиндра и конуса:

Объем цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Объем конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота.

2. Исследование функции по схеме:

В данном билете нет полной схемы для исследования функции. Обычно она включает:

1. Область определения функции.
2. Четность или нечетность функции.
3. Периодичность (если есть).
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Промежутки возрастания и убывания.
6. Точки экстремума (максимумы и минимумы).
7. Промежутки выпуклости и вогнутости.
8. Точки перегиба.
9. Асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
10. Построение графика функции.

3. Примеры вычислений:

1) Вычислите:

• \(
  \lim_{x\to3} \frac{x+3}{x^3-4} \)

Подставим \( x=3 \) в выражение:

\(
\frac{3+3}{3^3-4} = \frac{6}{27-4} = \frac{6}{23} \)

• \(
  \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+6x+5}{x^2-25} \)

Для вычисления предела при \( x \to \infty \) разделим числитель и знаменатель на \( x^2 \) (наивысшую степень \( x \) в знаменателе):

\(
\lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{6x}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}-\frac{25}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2+\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}{1-\frac{25}{x^2}} \)

При \( x \to \infty \), выражения \( \frac{6}{x} \), \( \frac{5}{x^2} \) и \( \frac{25}{x^2} \) стремятся к нулю.

\(
\frac{2+0+0}{1-0} = 2 \)

Ответ: 1) \( \frac{6}{23} \); 2) 2.