1. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда 2. Логарифмическая функция, свойства и график 3. Примеры: 1) Вычислите 8^{1/2} \(\div\) 2^{3/2} \(\int\)_{-1}^{2} 4^x dx log_{12} 4 + log_{12} 36 2) Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? 4. Задача Дано: C(x; 0; 0), A (1; 2; 3), B(-2; 1; 3), CA = CB. Найти: x?

Решение:

1. Формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда

• Объем куба: \( V_{куба} = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.
• Объем прямоугольного параллелепипеда: \( V_{параллелепипеда} = a \cdot b \cdot c \), где \( a, b, c \) — длины его ребер.

2. Логарифмическая функция, свойства и график

• Логарифмическая функция имеет вид \( y = \log_a x \), где \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
• Свойства:
  • Область определения: \( x > 0 \).
  • Область значений: \( R \) (все действительные числа).
  • Если \( a > 1 \), функция возрастает.
  • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
  • График проходит через точку \( (1; 0) \).
  • График имеет горизонтальную асимптоту \( y=0 \) (ось Ox).
• График: График логарифмической функции — логарифмическая кривая.

3. Примеры

1) Вычисление:

• \( 8^{1/2} \div 2^{3/2} = (2^3)^{1/2} \div 2^{3/2} = 2^{3/2} \div 2^{3/2} = 1 \)
• \[ \int_{-1}^{2} 4^x dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{-1}^{2} = \frac{4^2}{\ln 4} - \frac{4^{-1}}{\ln 4} = \frac{16 - \frac{1}{4}}{\ln 4} = \frac{\frac{63}{4}}{\ln 4} = \frac{63}{4 \ln 4} = \frac{63}{8 \ln 2} \]
• \( \log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144 = 2 \)

2) Вероятность:

Множество натуральных чисел от 10 до 19: {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. Всего 10 чисел.

Числа, делящиеся на 3: {12, 15, 18}. Всего 3 числа.

Вероятность того, что выбранное число делится на 3: \( P = \frac{\text{количество чисел, делящихся на 3}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{3}{10} \)

4. Задача

Дано:

• С(x; 0; 0)
• A (1; 2; 3)
• B(-2; 1; 3)
• CA = CB

Найти: x

Решение:

Найдем квадраты длин отрезков CA и CB.

\( CA^2 = (1-x)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2 = (1-x)^2 + 4 + 9 = (1-x)^2 + 13 \)

\( CB^2 = (-2-x)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2 = (-2-x)^2 + 1 + 9 = (-2-x)^2 + 10 \)

По условию \( CA = CB \), значит \( CA^2 = CB^2 \).

\[ (1-x)^2 + 13 = (-2-x)^2 + 10 \]

\[ 1 - 2x + x^2 + 13 = 4 + 4x + x^2 + 10 \]

\[ x^2 - 2x + 14 = x^2 + 4x + 14 \]

Вычтем \( x^2 \) и 14 из обеих частей уравнения:

\[ -2x = 4x \]

\[ 0 = 4x + 2x \]

\[ 0 = 6x \]

\[ x = 0 \]

Ответ: x = 0.