1. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда 2. Логарифмическая функция, свойства и график 3. Примеры: 1) Вычислите 8^{2/3} : 2^{3/2} \(\int\)_{-1}^{2} 4^x dx log_{12} 4 + log_{12} 36 2) Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? 4. Задача Дано: C(x; 0; 0), A (1; 2; 3), B (-2; 1; 3), CA = CB. Найти: x — ?

Решение:

1. Формулы объема куба и прямоугольного параллелепипеда
   • Объем куба: \( V_{куба} = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.
   • Объем прямоугольного параллелепипеда: \( V_{параллелепипеда} = a x b x c \), где \( a, b, c \) — длина, ширина и высота соответственно.
2. Логарифмическая функция, свойства и график

   Логарифмическая функция имеет вид \( y = `log_a x \), где \( a > 0 \) и \( a
   e 1 \).

   • Свойства:
     • Область определения: \( x > 0 \).
     • Область значений: \( y ∈ R \).
     • График проходит через точку \( (1, 0) \).
     • Если \( a > 1 \), функция возрастает.
     • Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
     • Ось \( Oy \) является асимптотой.
   • График (пример для \( a > 1 \) и \( 0 < a < 1 \) ):
3. Примеры
   • 1) Вычислите
     • \( 8^{2/3} : 2^{3/2} = (2^3)^{2/3} : 2^{3/2} = 2^2 : 2^{3/2} = 4 : 2^{3/2} = 2^2 : 2^{1.5} = 2^{2 - 1.5} = 2^{0.5} = \sqrt{2} \)
     • \[ \int_{-1}^{2} 4^x dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_{-1}^{2} = \frac{4^2}{\ln 4} - \frac{4^{-1}}{\ln 4} = \frac{16}{\ln 4} - \frac{1}{4 x \ln 4} = \frac{16 - 0.25}{\ln 4} = \frac{15.75}{\ln 4} \]
     • \( \log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 x 36) = \log_{12} 144 = \log_{12} 12^2 = 2 \)
   • 2) Вероятность
     • Множество натуральных чисел от 10 до 19: {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. Всего чисел: 10.
     • Числа, которые делятся на 3: {12, 15, 18}. Всего чисел: 3.
     • Вероятность: \( P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{3}{10} \).
4. 4. Задача
   • Дано: \( C(x; 0; 0), A (1; 2; 3), B (-2; 1; 3), CA = CB \)
   • Найти: \( x \)
   • Решение:
   • Найдем квадраты длин векторов \( rA \) и \( rB \):
   • \( CA^2 = (1-x)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2 = (1-x)^2 + 4 + 9 = (1-x)^2 + 13 \)
   • \( CB^2 = (-2-x)^2 + (1-0)^2 + (3-0)^2 = (-2-x)^2 + 1 + 9 = (-2-x)^2 + 10 \)
   • Приравниваем квадраты длин: \( (1-x)^2 + 13 = (-2-x)^2 + 10 \)
   • \( 1 - 2x + x^2 + 13 = 4 + 4x + x^2 + 10 \)
   • \( x^2 - 2x + 14 = x^2 + 4x + 14 \)
   • \( -2x = 4x \)
   • \( 6x = 0 \)
   • \( x = 0 \)

Ответ: 1) \( \sqrt{2} \), \( \frac{15.75}{\ln 4} \), 2. 2) \( \frac{3}{10} \). 4. \( x=0 \).