1. Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда 2. Логарифмическая функция, свойства и график 3. Примеры: 1) Вычислите 8^{2/3} ÷ 2^{3/2} \[ \int_{-1}^{2} 4^x dx \] log₁₂ 4 + log₁₂ 36 2) Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3? 4. Задача Дано: C(x; 0; 0), A (1; 2; 3), B(-2; 1; 3), CA = CB. Найти: x — ?

Теоретические вопросы:

1. Объем куба вычисляется по формуле \( V_{куба} = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V_{параллелепипеда} = abc \), где \( a, b, c \) — длина, ширина и высота параллелепипеда соответственно.
3. Логарифмическая функция:
• Определение: \( y = \textrm{log}_a x \), где \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
• Свойства:
• Область определения: \( x > 0 \).
• Область значений: \( \textrm{R} \) (все действительные числа).
• Если \( a > 1 \), функция возрастает.
• Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.
• График проходит через точку \( (1; 0) \).
• Ось абсцисс \( (y=0) \) является асимптотой.
• График логарифмической функции — это логарифмическая кривая.

Вычисления:

1. Вычисление выражений:

   • \( 8^{2/3} \div 2^{3/2} \):
   • \( 8^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^{3 \cdot 2/3} = 2^2 = 4 \)
   • \( 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
   • \( 4 \div 2\sqrt{2} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
   • Интеграл:
   • \( \int_{-1}^{2} 4^x dx \)
   • Первообразная для \( 4^x \) есть \( \frac{4^x}{\ln 4} \).
   • \( [\frac{4^x}{\ln 4}]_{-1}^{2} = \frac{4^2}{\ln 4} - \frac{4^{-1}}{\ln 4} = \frac{16}{\ln 4} - \frac{1}{4 \ln 4} = \frac{64 - 1}{4 \ln 4} = \frac{63}{4 \ln 4} \)
   • Так как \( \ln 4 = \ln 2^2 = 2 \ln 2 \), то \( \frac{63}{4 \cdot 2 \ln 2} = \frac{63}{8 \ln 2} \)
   • Логарифмическое выражение:
   • \( \log_{12} 4 + \log_{12} 36 \)
   • Используем свойство логарифмов \( \log_b x + \log_b y = \log_b (xy) \):
   • \( \log_{12} (4 \cdot 36) = \log_{12} 144 \)
   • Так как \( 12^2 = 144 \), то \( \log_{12} 144 = 2 \)

Задача:

Дано:

• Точка \( C(x; 0; 0) \)
• Точка \( A(1; 2; 3) \)
• Точка \( B(-2; 1; 3) \)
• \( CA = CB \)

Найти: \( x \)

Решение:

1. Найдем длину вектора \( \textrm{CA} \):
• \( \textrm{CA} = \textrm{A} - \textrm{C} = (1 - x; 2 - 0; 3 - 0) = (1 - x; 2; 3) \)
• \( CA^2 = (1 - x)^2 + 2^2 + 3^2 = (1 - 2x + x^2) + 4 + 9 = x^2 - 2x + 14 \)
2. Найдем длину вектора \( \textrm{CB} \):
• \( \textrm{CB} = \textrm{B} - \textrm{C} = (-2 - x; 1 - 0; 3 - 0) = (-2 - x; 1; 3) \)
• \( CB^2 = (-2 - x)^2 + 1^2 + 3^2 = (4 + 4x + x^2) + 1 + 9 = x^2 + 4x + 14 \)
3. Так как \( CA = CB \), то \( CA^2 = CB^2 \):
• \( x^2 - 2x + 14 = x^2 + 4x + 14 \)
• \( -2x = 4x \)
• \( 6x = 0 \)
• \( x = 0 \)

Ответ: x = 0.