1. Докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида: 1) 4k+3, 2) 3k + 2, 3) 6k +5.

Решение:

1. Простые числа вида 4k+3:

1. Предположим, что существует конечное число простых чисел вида 4k+3: p₁, p₂, ..., p_n.
2. Рассмотрим число N = 4(p₁p₂...p_n) - 1.
3. Число N имеет вид 4m - 1, что эквивалентно виду 4k+3 (так как 4m - 1 = 4(m-1) + 3).
4. Число N не делится ни на одно из простых чисел p_i, так как при делении на любое из них остаток будет -1 (или 3).
5. Если N - простое число, то оно является простым числом вида 4k+3, которое не было в нашем исходном списке.
6. Если N - составное число, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель. Этот делитель не может быть ни одного из вида 4k+1, так как произведение простых чисел вида 4k+1 дает число вида 4k+1. Следовательно, N должно иметь хотя бы один простой делитель вида 4k+3. Этот делитель также не входит в исходный список p₁, ..., p_n.
7. Таким образом, в любом случае существует простое число вида 4k+3, не входящее в исходный конечный набор. Следовательно, простых чисел вида 4k+3 бесконечно много.

2. Простые числа вида 3k+2:

1. Предположим, что существует конечное число простых чисел вида 3k+2: p₁, p₂, ..., p_n.
2. Рассмотрим число N = 3(p₁p₂...p_n) - 1.
3. Число N имеет вид 3m - 1, что эквивалентно виду 3k+2 (так как 3m - 1 = 3(m-1) + 2).
4. Число N не делится ни на одно из простых чисел p_i, так как при делении на любое из них остаток будет -1 (или 2).
5. Если N - простое число, то оно является простым числом вида 3k+2, которое не было в нашем исходном списке.
6. Если N - составное число, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель. Этот делитель не может быть 3 (так как N ≡ 2 (mod 3)). Он также не может быть ни одного из вида 3k+1, так как произведение простых чисел вида 3k+1 дает число вида 3k+1. Следовательно, N должно иметь хотя бы один простой делитель вида 3k+2. Этот делитель также не входит в исходный список p₁, ..., p_n.
7. Таким образом, существует простое число вида 3k+2, не входящее в исходный конечный набор. Следовательно, простых чисел вида 3k+2 бесконечно много.

3. Простые числа вида 6k+5:

1. Предположим, что существует конечное число простых чисел вида 6k+5: p₁, p₂, ..., p_n.
2. Рассмотрим число N = 6(p₁p₂...p_n) - 1.
3. Число N имеет вид 6m - 1, что эквивалентно виду 6k+5 (так как 6m - 1 = 6(m-1) + 5).
4. Число N не делится ни на одно из простых чисел p_i, так как при делении на любое из них остаток будет -1 (или 5).
5. Число N не делится на 2, так как оно нечетное.
6. Число N не делится на 3, так как 6(p₁p₂...p_n) делится на 3, а -1 дает остаток 2 при делении на 3.
7. Если N - простое число, то оно является простым числом вида 6k+5, которое не было в нашем исходном списке.
8. Если N - составное число, то оно должно иметь хотя бы один простой делитель. Этот делитель не может быть 2 или 3. Он также не может быть ни одного из вида 6k+1, так как произведение простых чисел вида 6k+1 дает число вида 6k+1. Следовательно, N должно иметь хотя бы один простой делитель вида 6k+5. Этот делитель также не входит в исходный список p₁, ..., p_n.
9. Таким образом, существует простое число вида 6k+5, не входящее в исходный конечный набор. Следовательно, простых чисел вида 6k+5 бесконечно много.

Общий вывод: для каждого из указанных видов простых чисел доказано, что их существует бесконечно много.