1. Докажите, что число 2023 · 2025 · 2027 · 2029 + 16 является квадратом натурального числа.

Решение:

Пусть \( n = 2026 \). Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

\[ (n-3)(n-1)(n+1)(n+3) + 16 \]

Сгруппируем множители:

\[ ((n-3)(n+3))((n-1)(n+1)) + 16 \]

Применим формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \):

\[ (n^2 - 9)(n^2 - 1) + 16 \]

Раскроем скобки:

\[ n^4 - n^2 - 9n^2 + 9 + 16 \]

\[ n^4 - 10n^2 + 25 \]

Это выражение является полным квадратом:

\[ (n^2 - 5)^2 \]

Подставим обратно \( n = 2026 \):

\[ (2026^2 - 5)^2 \]

Так как \( 2026^2 - 5 \) является натуральным числом, то \( (2026^2 - 5)^2 \) является квадратом натурального числа.

Ответ: Доказано.