1. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника ABC (∠ABC = 90°) равна 8 см. Точки F и P — середины сторон AB и AC соответственно. Вычислите площадь четырехугольника BFPC (рис. 66, а).

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она про площадь четырехугольника, который получился внутри треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный.
• Катет AB = 8 см.
• F — середина AB.
• P — середина AC.
• Нужно найти площадь четырехугольника BFPC.

Решение:

1. Площадь всего треугольника ABC:

   Так как треугольник равнобедренный прямоугольный, то AB = BC = 8 см. Площадь прямоугольного треугольника — это половина произведения катетов:

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \]

   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 32 \text{ см}^2 \]

2. Площадь треугольника AFP:

   F — середина AB, значит, AF = AB / 2 = 8 см / 2 = 4 см.

   P — середина AC. По теореме Фалеса (или свойству средней линии), отрезок FP параллелен BC и равен половине BC. То есть FP = BC / 2 = 8 см / 2 = 4 см.

   Треугольник AFP подобен треугольнику ABC (по двум сторонам и углу между ними, или по двум углам, так как ∠BAC общий, и ∠AFP = ∠ABC = 90°, если FP || BC). Так как FP || BC, то ∠AFP = 90°.

   Площадь треугольника AFP:

   \[ S_{AFP} = \frac{1}{2} \times AF \times FP \]

   \[ S_{AFP} = \frac{1}{2} \times 4 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2 \]

3. Площадь четырехугольника BFPC:

   Чтобы найти площадь четырехугольника, нужно из площади всего треугольника ABC вычесть площадь треугольника AFP:

   \[ S_{BFPC} = S_{ABC} - S_{AFP} \]

   \[ S_{BFPC} = 32 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2 \]

Ответ: 24 см²