1.Диагональ куба 6 см.Найти: а) ребро куба б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней

Решение:

Пусть \( d \) — диагональ куба, \( a \) — ребро куба.

а) Найдём ребро куба:

Диагональ куба находится по формуле: \( d = a \sqrt{3} \).
Известно, что \( d = 6 \) см.

Выразим ребро \( a \) из формулы:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \]

• Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ a = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} \] см.

б) Найдём косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней:

Рассмотрим куб с вершинами в координатах. Пусть одна из вершин находится в начале координат \( (0,0,0) \). Тогда ребро куба \( a = 2\sqrt{3} \) см.

Диагональ куба, исходящая из начала координат, имеет координаты \( D = (a, a, a) = (2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}) \).

Плоскость одной из граней, например, плоскость \( xy \), задается уравнением \( z = 0 \).

Угол между диагональю куба и плоскостью его грани — это угол между вектором диагонали \( \vec{D} \) и его проекцией на эту плоскость.

Проекция диагонали куба \( (a, a, a) \) на плоскость \( xy \) (где \( z=0 \)) будет иметь координаты \( P = (a, a, 0) \).

Длина диагонали куба: \( |\vec{D}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} = 6 \) см (дано).

Длина проекции диагонали на плоскость грани:

\[ |\vec{P}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

• Подставим значение \( a = 2\sqrt{3} \):

\[ |\vec{P}| = (2\sqrt{3}) \sqrt{2} = 2\sqrt{6} \] см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю куба, её проекцией на плоскость грани и ребром куба, перпендикулярным этой плоскости. Угол \( \alpha \) между диагональю куба и плоскостью грани — это угол между гипотенузой (диагональ куба) и катетом (проекция диагонали на плоскость грани).

Косинус этого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\[ \cos(\alpha) = \frac{|\vec{P}|}{|\vec{D}|} = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]

• Избавимся от иррациональности:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Ответ: а) ребро куба равно \( 2\sqrt{3} \) см; б) косинус угла равен \( \frac{\sqrt{6}}{3} \).