1. Дано: рис. \(\angle\) AOB = 78^{\(\circ\)}, \(\angle\) AOC > \(\angle\) BOC на 18^{\(\circ\)}. Найти: \(\angle\) AOC, \(\angle\) BOC. 2. Дано: рис. \(\angle\) CAD = 156^{\(\circ\)}. \(\angle\) C > \(\angle\) B в 2 раза. Найти: \(\angle\) B, \(\angle\) C.

Решение:

1. Нахождение углов AOC и BOC:

1. Из условия известно, что \( \angle AOC > \angle BOC \) на \( 18^{\circ} \). Обозначим \( \angle BOC = x \), тогда \( \angle AOC = x + 18^{\circ} \).
2. Также известно, что \( \angle AOB = 78^{\circ} \). Так как \( \angle AOC + \angle BOC = \angle AOB \), то \( (x + 18^{\circ}) + x = 78^{\circ} \).
3. Решим уравнение: \( 2x + 18^{\circ} = 78^{\circ} \) \( 2x = 78^{\circ} - 18^{\circ} \) \( 2x = 60^{\circ} \) \( x = 30^{\circ} \).
4. Таким образом, \( \angle BOC = 30^{\circ} \) и \( \angle AOC = 30^{\circ} + 18^{\circ} = 48^{\circ} \).

2. Нахождение углов B и C треугольника:

1. В треугольнике \( \triangle ABC \) внешний угол \( \angle CAD = 156^{\circ} \).
2. Сумма смежных углов равна \( 180^{\circ} \), поэтому \( \angle BAC = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).
3. Из условия известно, что \( \angle C > \angle B \) в 2 раза. Обозначим \( \angle B = y \), тогда \( \angle C = 2y \).
4. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \): \( \angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
5. Подставим известные значения: \( 24^{\circ} + y + 2y = 180^{\circ} \).
6. Решим уравнение: \( 3y = 180^{\circ} - 24^{\circ} \) \( 3y = 156^{\circ} \) \( y = 52^{\circ} \).
7. Таким образом, \( \angle B = 52^{\circ} \) и \( \angle C = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ} \).

Ответ: 1. \( \angle AOC = 48^{\circ}, \angle BOC = 30^{\circ} \). 2. \( \angle B = 52^{\circ}, \angle C = 104^{\circ} \).