1. Дано: окружность с радиусом 10, угол 130 градусов. Найти: длину дуги и площадь сектора. 2. Дано: треугольник ABC, угол C = 90 градусов, угол B = 60 градусов, сторона AC = a. Найти: стороны AB и BC.

Задание 1. Окружность

Дано:

• Радиус окружности: \( r = 10 \).
• Центральный угол: \( \alpha = 130^\circ \).

Найти: длину дуги \( L \) и площадь сектора \( S \).

Решение:

1. Длина дуги вычисляется по формуле: \[ L = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ} \]
2. Подставим значения: \[ L = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 130^\circ}{180^\circ} = \frac{1300\pi}{180} = \frac{65\pi}{9} \]
3. Площадь сектора вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ} \]
4. Подставим значения: \[ S = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 130^\circ}{360^\circ} = \frac{100 \cdot 130 \pi}{360} = \frac{13000\pi}{360} = \frac{650\pi}{18} = \frac{325\pi}{9} \]

Ответ: Длина дуги \( L = \frac{65\pi}{9} \), площадь сектора \( S = \frac{325\pi}{9} \).

Задание 2. Треугольник ABC

Дано:

• Треугольник \( ABC \).
• Угол \( C = 90^\circ \).
• Угол \( B = 60^\circ \).
• Сторона \( AC = a \).

Найти: стороны \( AB \) и \( BC \).

Решение:

1. Так как \( \angle C = 90^\circ \) и \( \angle B = 60^\circ \), то \( \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:
• \( \frac{AC}{BC} = \tan(60^\circ) \) \( \rightarrow \) \( BC = \frac{AC}{\tan(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)
• \( \frac{AC}{AB} = \\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \rightarrow \) \( AB = \frac{2 \times AC}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \)
• ИЛИ
• \( \frac{AC}{AB} = \\frac{1}{2} \) \( \rightarrow \) \( AB = 2 \times AC = 2a \)
• \( \frac{BC}{AB} = \\frac{\sqrt{3}}{2} \) \( \rightarrow \) \( BC = \frac{a \times \tan(30^\circ)}{\} \)

Ответ: \( AB = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \), \( BC = \frac{a\sqrt{3}}{3} \)