1. Дано: АВСD. ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°. ∠AOC = 110°. Найти: ∠C. Доказать: Δ ABO = Δ DCO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 54°. Найдите два других угла треугольника АВС. 3. В с прямым углом С проведена биссектриса ВМ, причем ∠AMB=110°. Найдите угол ВАМ.

Задание 1

Дано: Четырехугольник ABCD. \( \angle ABC = 65^{\circ} \), \( \angle ADC = 45^{\circ} \), \( \angle AOC = 110^{\circ} \).

Найти: \( \angle C \).

Доказать: \( \triangle ABO = \triangle DCO \).

Решение:

Данная задача содержит противоречивые условия и не может быть решена в том виде, в котором она представлена. Указанные углы \( \angle ABC = 65^{\circ} \) и \( \angle ADC = 45^{\circ} \) и \( \angle AOC = 110^{\circ} \) в четырёхугольнике ABCD, особенно в контексте доказательства равенства треугольников \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \), предполагают, что ABCD — это вписанный четырёхугольник или имеет другие специфические свойства, которые не указаны. Если ABCD — произвольный четырёхугольник, то точки A, O, C могут быть не связаны напрямую с вершинами B и D так, чтобы доказать равенство треугольников, и угол \( \angle C \) не может быть однозначно определён.

Для корректного решения необходимы дополнительные условия или уточнение типа четырёхугольника.

Задание 2

Дано: Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. \( \angle B = 54^{\circ} \).

Найти: \( \angle A \) и \( \angle C \).

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle C \).

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Следовательно:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

Подставляем известное значение \( \angle B \):

\[ \angle A + 54^{\circ} + \angle C = 180^{\circ} \]

Так как \( \angle A = \angle C \), можем заменить \( \angle C \) на \( \angle A \):

\[ \angle A + 54^{\circ} + \angle A = 180^{\circ} \]

\[ 2 \angle A = 180^{\circ} - 54^{\circ} \]

\[ 2 \angle A = 126^{\circ} \]

\[ \angle A = \frac{126^{\circ}}{2} = 63^{\circ} \]

Значит, \( \angle C = 63^{\circ} \) так же.

Ответ: \( \angle A = 63^{\circ} \), \( \angle C = 63^{\circ} \).

Задание 3

Дано: Треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом C (\( \angle C = 90^{\circ} \)). BM — биссектриса. \( \angle AMB = 110^{\circ} \).

Найти: \( \angle BAM \).

Решение:

Рассмотрим треугольник AMB. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Мы знаем \( \angle AMB = 110^{\circ} \). Угол \( \angle ABM \) является частью угла \( \angle ABC \).

В треугольнике AMB:

\[ \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ} \]

\[ \angle BAM + \angle ABM + 110^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle BAM + \angle ABM = 180^{\circ} - 110^{\circ} \]

\[ \angle BAM + \angle ABM = 70^{\circ} \]

Так как BM — биссектриса угла \( \angle ABC \), то она делит угол пополам: \( \angle ABM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle ABC \).

Теперь рассмотрим треугольник BCM. Угол \( \angle BCM = 90^{\circ} \) (по условию, прямой угол C). Угол \( \angle CMB \) смежный с \( \angle AMB \), поэтому \( \angle CMB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

В треугольнике BCM:

\[ \angle CBM + \angle BCM + \angle CMB = 180^{\circ} \]

\[ \angle CBM + 90^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CBM + 160^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle CBM = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ} \]

Поскольку BM — биссектриса, \( \angle ABM = \angle CBM = 20^{\circ} \).

Теперь вернёмся к уравнению для треугольника AMB:

\[ \angle BAM + \angle ABM = 70^{\circ} \]

\[ \angle BAM + 20^{\circ} = 70^{\circ} \]

\[ \angle BAM = 70^{\circ} - 20^{\circ} \]

\[ \angle BAM = 50^{\circ} \]

Ответ: \( \angle BAM = 50^{\circ} \).