1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ZADC = 45°, ZAOC = 110° (рис. 5.91). Найти: С. Доказать: ДАВО = ADCO.

Задание 1.

Дано:

• \( AB = CD \)
• \( \angle ABC = 65^{\circ} \)
• \( \angle ADC = 45^{\circ} \)
• \( \angle AOC = 110^{\circ} \)
• Рис. 5.91

Найти: \( \angle C \). Доказать: \( \triangle ABO \cong \triangle ADCO \).

Решение:

1. Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \). \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \).
2. Сумма углов в \( \triangle ADC \) равна \( 180^{\circ} \). \( \angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \).
3. \( \angle AOC = 110^{\circ} \) — внешний угол \( \triangle ADO \).
4. \( \angle AOC = \angle DAO + \angle ADO \)
5. \( 110^{\circ} = \angle DAO + 45^{\circ} \)
6. \( \angle DAO = 110^{\circ} - 45^{\circ} = 65^{\circ} \)
7. В \( \triangle ADC \): \( \angle CAD + 45^{\circ} + \angle ACD = 180^{\circ} \)
8. \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \) (если \( \angle C = 90^{\circ} \))
9. Из \( \angle AOC = 110^{\circ} \) и \( \angle DAO = 65^{\circ} \), \( \angle BAC = \angle AOC - \angle DAO = 110^{\circ} - 65^{\circ} = 45^{\circ} \)
10. В \( \triangle ABC \): \( 45^{\circ} + 65^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \)
11. \( \angle BCA = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 65^{\circ} = 70^{\circ} \)
12. \( \angle C = \angle BCA + \angle ACD = 70^{\circ} + 45^{\circ} = 115^{\circ} \)
13. Доказательство:
14. \( \angle BAC = 45^{\circ} \)
15. \( \angle CAD = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 65^{\circ} = 70^{\circ} \)
16. \( \angle ABC = 65^{\circ} \)
17. \( \angle ADC = 45^{\circ} \)
18. \( \angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ} \)
19. \( AB = CD \) (дано)
20. \( \angle ABC = 65^{\circ} \), \( \angle ADC = 45^{\circ} \)
21. Недостаточно данных для доказательства конгруэнтности треугольников.

Найдено: \( \angle C = 115^{\circ} \).