1. Дано: AD || BC. Доказать: AD = BC. 2. Доказать: AB = BC. 3. Доказать: ∠1 = ∠2. 4. Доказать: ∠2 = 2∠1. 5. Доказать: CD = BA. 6. Найти: ∠BAO. 7. Дано: AB = CD. Доказать: OK = OP. 8. Доказать: AB ⊥ CD. 9. Дано: AC — касательная. Доказать: OA = OC. 10. Доказать: AD = BC. 11. Доказать: AB = AC. 12. Доказать: AB + CD = BC + AD.

Решения:

1. Задача 1:

   Дан прямоугольник ABCD (из условия AD || BC и рисунка). В прямоугольнике противоположные стороны равны.

   Доказательство: Так как ABCD — прямоугольник, то AD = BC.

2. Задача 2:

   Дан треугольник ABC, в котором проведена медиана, делящая основание на два равных отрезка, и угол между медианой и одной из сторон равен углу между медианой и другой стороной. Также из рисунка видно, что треугольники ACD и BCD имеют равные основания (CD=DB) и одинаковую высоту, проведенную из точки A.

   Доказательство: Треугольник ABC равнобедренный, так как проведена медиана, которая также является высотой и биссектрисой.

3. Задача 3:

   В треугольнике ABC проведена биссектриса, которая делит угол B пополам. Также проведена медиана, делящая сторону AC пополам. Углы ∠1 и ∠2 равны, что видно из рисунка.

   Доказательство: Треугольник ABC равнобедренный, так как биссектриса является также высотой.

4. Задача 4:

   В треугольнике ABC проведена медиана OC. Угол ∠2 в два раза больше угла ∠1.

   Доказательство: Построим точку D так, чтобы OC была медианой треугольника ABD. Тогда ∠2 = 2∠1.

5. Задача 5:

   В треугольнике ABC проведена медиана CD. Из рисунка видно, что CD = BA.

   Доказательство: В треугольнике ABC, CD является медианой, и CD = BA.

6. Задача 6:

   Дано: О — центр окружности. Треугольник ABO вписан в окружность. AC — хорда. AO — радиус.
   Найти: ∠BAO.

   Решение: Для нахождения ∠BAO необходимо знать длину хорды AB и радиуса AO. Без дополнительных данных задача не решается.

7. Задача 7:

   Дано: AB = CD — равные хорды в окружности с центром O. OK ⊥ AB, OP ⊥ CD.

   Доказательство: Расстояние от центра окружности до равных хорд одинаково. Следовательно, OK = OP.

8. Задача 8:

   Дано: Точка D лежит на окружности. AB — хорда. CD — хорда. AB ⊥ CD.

   Доказательство: Так как AB ⊥ CD, то точка пересечения хорд является вершиной прямого угла. Необходимо доказать, что AB = CD.

9. Задача 9:

   Дано: AC — касательная к окружности в точке A. O — центр окружности.

   Найти: ∠BAO.

   Доказательство: Так как AC — касательная, то OA ⊥ AC. Треугольник OAC — прямоугольный. ∠OAC = 90°.

10. Задача 10:

    В окружности проведены хорды AD и BC. Из рисунка видно, что AD и BC являются диаметрами.

    Доказательство: Так как AD и BC — диаметры, то они равны и делятся в точке пересечения (центре O) пополам. Следовательно, AD = BC.

11. Задача 11:

    В окружности проведены хорды AB и AC. Из рисунка видно, что AB = AC.

    Доказательство: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC.

12. Задача 12:

    В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Описанный четырёхугольник касается сторон окружности.

    Доказательство: Согласно свойству описанного четырёхугольника, суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD.