1. Дано: AC = BC. Доказать: OC ⊥ AB. 2. Дано: AB и AC — касательные. Доказать: AO — биссектриса ∠BAC. 3. Найдите расстояние между центрами окружностей в случае внутреннего касания, если их радиусы равны 31 см и 52 см.

1. Доказательство:

В треугольнике ABC:

1. AC = BC (по условию). Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный.

2. AO = BO (как радиусы одной окружности).
3. OC — общая сторона для треугольников AOC и BOC.
4. По трем сторонам (AC = BC, AO = BO, OC = OC), треугольники AOC и BOC равны (третий признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ ACO = ∠ BCO.
6. Так как ∠ ACB — развернутый угол (180°), а OC делит его пополам, то ∠ ACO = ∠ BCO = 180° / 2 = 90°.
7. Следовательно, OC ⊥ AB.

2. Доказательство:

В треугольниках ABO и ACO:

1. AB = AC (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).
2. BO = CO (как радиусы одной окружности).
3. AO — общая сторона.
4. По трем сторонам (AB = AC, BO = CO, AO = AO), треугольники ABO и ACO равны (третий признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ BAO = ∠ CAO.
6. Следовательно, AO является биссектрисой угла BAC.

3. Расчет расстояния между центрами окружностей:

Для внутреннего касания двух окружностей расстояние между их центрами равно разности их радиусов.

Пусть R — больший радиус, а r — меньший радиус.

R = 52 см

r = 31 см

Расстояние (d) = R - r

d = 52 см - 31 см

d = 21 см

Ответ: 21 см