1. Дано: ABCD — ромб, AC ∩ BD = O, a ⊥ (ABC). Доказать: MO ⊥ BD. 2. ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Площадь её полной поверхности равна 210 м², а площадь боковой поверхности 160 м². Найти сторону основания и высоту призмы. 3. В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 см и длиной бокового ребра √50 см найти косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания и площадь боковой поверхности. 4. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, объём параллелепипеда.

Задание 2:

Дано:

• Призма ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная.
• Полная поверхность (S_полн) = 210 м².
• Боковая поверхность (S_бок) = 160 м².

Найти:

• Сторону основания (a)
• Высоту призмы (h)

Решение:

1. Площадь основания:

   Площадь полной поверхности призмы складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований:

   S_полн = S_бок + 2 * S_осн

   Отсюда, площадь двух оснований равна:

   2 * S_осн = S_полн - S_бок

   2 * S_осн = 210 м² - 160 м² = 50 м²

   Площадь одного основания:

   S_осн = 50 м² / 2 = 25 м²

2. Сторона основания:

   Поскольку призма правильная, в основании лежит квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

   S_осн = a²

   a² = 25 м²

   a = √25 м² = 5 м

3. Высота призмы:

   Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту:

   S_бок = P_осн * h

   Периметр основания (квадрата со стороной 5 м):

   P_осн = 4 * a = 4 * 5 м = 20 м

   Теперь найдем высоту:

   h = S_бок / P_осн

   h = 160 м² / 20 м = 8 м

Ответ: Сторона основания призмы равна 5 м, высота призмы равна 8 м.

Задание 3:

Дано:

• Правильная четырёхугольная пирамида.
• Сторона основания (a) = 6 см.
• Боковое ребро (l) = √50 см.

Найти:

• Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания (cos α).
• Площадь боковой поверхности (S_бок).

Решение:

1. Найдём апофему (h_a):

   Апофема — высота боковой грани пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и половиной стороны основания:

   l² = h_a² + (a/2)²

   (√50)² = h_a² + (6/2)²

   50 = h_a² + 3²

   50 = h_a² + 9

   h_a² = 50 - 9 = 41

   h_a = √41 см.

2. Площадь боковой поверхности:

   S_бок = 0.5 * P_осн * h_a

   P_осн = 4 * a = 4 * 6 см = 24 см

   S_бок = 0.5 * 24 см * √41 см = 12√41 см².

3. Найдём половину диагонали основания (d/2):

   Диагональ квадрата основания (d) = a√2 = 6√2 см.

   d/2 = (6√2) / 2 = 3√2 см.

4. Найдём высоту пирамиды (H):

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной диагонали основания:

   l² = H² + (d/2)²

   (√50)² = H² + (3√2)²

   50 = H² + (9 * 2)

   50 = H² + 18

   H² = 50 - 18 = 32

   H = √32 = 4√2 см.

5. Найдём косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания:

   Угол α — это угол между боковым ребром (l) и половиной диагонали основания (d/2). В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — боковое ребро, а катеты — высота пирамиды и половина диагонали:

   cos(α) = (прилежащий катет) / (гипотенуза)

   cos(α) = (d/2) / l

   cos(α) = (3√2) / √50

   cos(α) = (3√2) / (5√2)

   cos(α) = 3/5

Ответ: Косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен 3/5. Площадь боковой поверхности равна 12√41 см².

Задание 4:

Дано:

• Прямой параллелепипед.
• Стороны основания a = 8 см, b = 15 см.
• Угол между сторонами основания (γ) = 60°.
• Меньшая площадь диагонального сечения (S_d1) = 130 см².

Найти:

• Площадь полной поверхности (S_полн).
• Объём параллелепипеда (V).

Решение:

1. Найдём площадь основания (S_осн):

   S_осн = a * b * sin(γ)

   S_осн = 8 см * 15 см * sin(60°)

   S_осн = 120 см² * (√3 / 2)

   S_осн = 60√3 см².

2. Найдём диагонали основания (d₁ и d₂):

   По теореме косинусов:

   d₁² = a² + b² - 2ab * cos(γ)

   d₁² = 8² + 15² - 2 * 8 * 15 * cos(60°)

   d₁² = 64 + 225 - 240 * (1/2)

   d₁² = 289 - 120 = 169

   d₁ = √169 = 13 см.

   d₂² = a² + b² - 2ab * cos(180° - γ)

   d₂² = 8² + 15² - 2 * 8 * 15 * cos(120°)

   d₂² = 64 + 225 - 240 * (-1/2)

   d₂² = 289 + 120 = 409

   d₂ = √409 см.

3. Найдём высоту параллелепипеда (h):

   Диагональные сечения — это прямоугольники. Их площади равны произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда.

   S_d1 = d₁ * h

   S_d2 = d₂ * h

   Поскольку d₁ < d₂ (13 см < √409 см), то меньшее диагональное сечение — это сечение плоскостью, содержащей диагональ d₁.

   S_d1 = 130 см².

   130 см² = 13 см * h

   h = 130 см² / 13 см = 10 см.

4. Найдём площадь полной поверхности (S_полн):

   S_полн = 2 * S_осн + S_бок

   S_бок = P_осн * h

   P_осн = 2 * (a + b) = 2 * (8 см + 15 см) = 2 * 23 см = 46 см.

   S_бок = 46 см * 10 см = 460 см².

   S_полн = 2 * (60√3 см²) + 460 см²

   S_полн = 120√3 см² + 460 см².

5. Найдём объём параллелепипеда (V):

   V = S_осн * h

   V = (60√3 см²) * 10 см

   V = 600√3 см³.

Ответ: Площадь полной поверхности параллелепипеда равна (460 + 120√3) см². Объём параллелепипеда равен 600√3 см³.