1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C. Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Решение:

1. Дано: \( AB = CD \), \( \angle ABC = 65^{\circ} \), \( \angle ADC = 45^{\circ} \), \( \angle AOC = 110^{\circ} \) (рис. 5.91).

Найти: \( \angle C \).

Доказать: \( \triangle ABO = \triangle CDO \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle AOC \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). \( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \).
2. \( \angle AOC = 110^{\circ} \) (дано).
3. \( \angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).
4. Мы не можем найти \( \angle C \) без дополнительных данных или без доказательства равенства треугольников.
5. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \).
6. Нам дано \( AB = CD \) (сторона).
7. Вертикальные углы \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные углы).
8. Для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), нам нужен \( \angle BAO = \angle DCO \) или \( \angle ABO = \angle CDO \).
9. Для доказательства равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), нам нужен \( \angle BAO = \angle DCO \) и \( \angle ABO = \angle CDO \).
10. У нас нет информации для доказательства равенства углов.
11. Возможно, в условии задачи есть опечатка или не хватает данных для нахождения \( \angle C \) и доказательства равенства треугольников.

Ответ: Невозможно найти ∠C и доказать равенство треугольников при данных условиях.