1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠ASO, ∠AABO = ∠ADO. 2. В равнобедренной треугольника ABC с основанием AC сумма углов A и C равна 156°. Найти углы треугольника ABC. 3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC — равнобедренные прямоугольные (∠B = 90°, ∠D = 90°). Доказать: AB = CD. 4. Дано: ∠DBC = 90°, ∠BDC = 60°, BD = 4 см (рис. 5.92). а) Между какими числами заключен малоизвестный угол С? б) Найдите длину отрезка BE.

Решение:

1. Задача не решена из-за недостатка информации или некорректных данных.

2. Найти углы равнобедренного треугольника ABC, если ∠A + ∠C = 156°.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \( \angle A = \angle C \).
2. Так как \( \angle A + \angle C = 156° \), то \( 2 \angle A = 156° \).
3. \( \angle A = \frac{156°}{2} = 78° \).
4. \( \angle C = 78° \).
5. Сумма углов треугольника равна 180°, значит \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) = 180° - 156° = 24° \).

Ответ: \( \angle A = 78°, \angle B = 24°, \angle C = 78° \).

3. Доказать, что AB = CD.

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — прямоугольные \( (\angle B = 90°, \angle D = 90°) \), \( AC \) — общая гипотенуза.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). По теореме Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).
2. Рассмотрим \( \triangle ADC \). По теореме Пифагора: \( AD^2 + CD^2 = AC^2 \).
3. Из равенства \( AC^2 \) следует: \( AB^2 + BC^2 = AD^2 + CD^2 \).
4. Из условия задачи \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) — равнобедренные прямоугольные. Это означает, что катеты равны: \( AB = BC \) и \( AD = CD \).
5. Подставим это в уравнение из пункта 3: \( AB^2 + AB^2 = AD^2 + AD^2 \) => \( 2AB^2 = 2AD^2 \) => \( AB^2 = AD^2 \) => \( AB = AD \).
6. Так как \( AB = BC \) и \( AD = CD \), и мы получили \( AB = AD \), то все стороны \( AB = BC = AD = CD \).
7. Следовательно, \( AB = CD \).

4. Найти угол C и длину отрезка BE.

а) Найти угол C.

1. Рассмотрим \( \triangle BDC \). Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle C + \angle DBC + \angle BDC = 180° \).
2. \( \angle C + 90° + 60° = 180° \).
3. \( \angle C = 180° - 90° - 60° = 30° \).
4. Угол C находится между 0° и 90°.

б) Найти длину отрезка BE.

1. Рассмотрим \( \triangle BDC \). Это прямоугольный треугольник с углом \( \angle C = 30° \).
2. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. \( BD = \frac{1}{2} BC \).
3. \( 4 = \frac{1}{2} BC \) => \( BC = 8 \) см.
4. Теперь рассмотрим \( \triangle BDC \) еще раз. По теореме Пифагора: \( BC^2 = BD^2 + CD^2 \).
5. \( 8^2 = 4^2 + CD^2 \) => \( 64 = 16 + CD^2 \) => \( CD^2 = 48 \) => \( CD = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \) см.
6. \( BE \) — высота в прямоугольном треугольнике \( \triangle BDC \). Площадь \( \triangle BDC = \frac{1}{2} · BD · CD = \frac{1}{2} · 4 · 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \) кв. см.
7. Также площадь \( \triangle BDC = \frac{1}{2} · BC · BE \).
8. \( 8\sqrt{3} = \frac{1}{2} · 8 · BE \) => \( 8\sqrt{3} = 4 BE \) => \( BE = 2\sqrt{3} \) см.

Ответ: а) Угол C заключен между 0° и 90°. б) Длина отрезка BE равна \( 2\sqrt{3} \) см.