№ 1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁, B₁, C₁, D₁. Точка E - середина ребра А₁В₁, точка К - середина ребра C₁D₁, точка М - середина ребра АА₁, точка F - середина ребра СС₁. Найдите а) Какие из векторов противоположны вектору А₁D₁ б) Назовите три вектора, коллинеарных вектору 1) MA₁; 2) FK в) Найдите | AF|, если AB=4, AD= 3. АА₁=6

Решение:

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки E, K, M, F - середины соответствующих ребер.

а) Векторы, противоположные вектору А₁D₁

Вектор А₁D₁ направлен от точки А₁ к точке D₁. В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны по длине. Поэтому векторы, имеющие противоположное направление и равную длину, будут:

• D₁A₁ (направлен от D₁ к А₁)
• B₁C₁ (параллелен A₁D₁ и имеет то же направление, поэтому вектор B₁C₁ не противоположен)
• CB (параллелен D₁A₁ и имеет то же направление, поэтому вектор CB не противоположен)
• BC (параллелен A₁D₁ и имеет противоположное направление)

Таким образом, векторы, противоположные вектору А₁D₁, это D₁A₁ и BC.

б) Три вектора, коллинеарных векторам

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой.

1) Вектор MA₁

Точка М - середина ребра AA₁. Вектор MA₁ направлен от середины ребра AA₁ к точке А₁. Этот вектор параллелен ребру AA₁.

Коллинеарные векторы:

• AM (направлен от А к М, лежит на той же прямой AA₁)
• AA₁ (направлен от А к А₁, лежит на той же прямой)
• A₁A (направлен от А₁ к А, лежит на той же прямой)

2) Вектор FK

Точка F - середина ребра CC₁, точка K - середина ребра C₁D₁. Вектор FK направлен от середины ребра CC₁ к середине ребра C₁D₁.

Вектор FK параллелен вектору CD₁ (если рассматривать сечение параллелепипеда).

Коллинеарные векторы:

• CD₁ (вектор, направленный вдоль диагонали грани CC₁D₁D)
• DC₁ (вектор, противоположный CD₁)
• C₁D₁ (вектор, направленный вдоль ребра C₁D₁)

в) Найдите | AF|, если AB=4, AD= 3. АА₁=6

Нам нужно найти длину вектора AF. Вектор AF — это диагональ прямоугольника AA₁F. Мы можем найти длину этого вектора, используя теорему Пифагора.

Рассмотрим прямоугольник AA₁F. Его стороны:

• AA₁ = 6 (дано)
• AF - искомая диагональ

Чтобы найти длину AF, нам нужно знать длину стороны AF. Но F - середина ребра CC₁, значит AF не является стороной прямоугольника. Нам нужно найти длину вектора AF, который соединяет точку A с точкой F.

Вектор AF можно представить как сумму векторов:

AF = AC + CF

В прямоугольном параллелепипеде:

• AC — диагональ основания ABCD. Длина AC находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC: AC² = AB² + BC². Так как ABCD - прямоугольник, то BC = AD = 3.
• CF — половина ребра CC₁, так как F - середина CC₁. Значит, CF = CC₁ / 2. Ребро CC₁ равно ребру AA₁, так как это прямоугольный параллелепипед. Следовательно, CC₁ = 6, и CF = 6 / 2 = 3.

Найдем длину AC:

\[ AC^2 = AB^2 + AD^2 \]

\[ AC^2 = 4^2 + 3^2 \]

\[ AC^2 = 16 + 9 \]

\[ AC^2 = 25 \]

\[ AC = \sqrt{25} = 5 \]

Теперь найдем длину вектора AF. Вектор AF будет диагональю прямоугольного параллелепипеда, если бы мы искали длину AC₁. Нам нужна длина вектора AF, который лежит в плоскости ACC₁F.

Рассмотрим прямоугольник ACC₁F. Его стороны:

• AC = 5 (найдено выше)
• CF = 3 (найдено выше)

Длина вектора AF будет диагональю этого прямоугольника ACC₁F.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ACF (или AC₁F, если бы F была C₁):

\[ AF^2 = AC^2 + CF^2 \]

\[ AF^2 = 5^2 + 3^2 \]

\[ AF^2 = 25 + 9 \]

\[ AF^2 = 34 \]

\[ AF = \sqrt{34} \]

Ответ:

а) Векторы, противоположные вектору А₁D₁: D₁A₁, BC

б) Три вектора, коллинеарных:

1) MA₁: AM, AA₁, A₁A

2) FK: CD₁, DC₁, C₁D₁

в) | AF| = √34