1. Биссектриса угла Е параллелограмма ECDA пересекает сторону CD в точке R. Найдите периметр параллелограмма, если CR = 3, DR = 25.

Дано:

• Параллелограмм ECDA.
• ER — биссектриса угла E.
• R находится на стороне CD.
• CR = 3.
• DR = 25.

Найти: Периметр параллелограмма ECDA.

Решение:

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллельны (EC || AD, CD || EA) и равны (EC = AD, CD = EA).
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Углы: Так как EA || CD, то угол AER и угол ERD — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых EA и CD секущей ER. Следовательно, ∠ AER = ∠ ERD.
4. Равенство углов: Так как ER — биссектриса ∠ E, то ∠ AER = ∠ DER.
5. Равенство углов: Из пунктов 3 и 4 следует, что ∠ AER = ∠ ERD = ∠ DER.
6. Треугольник: Рассмотрим ∆ EDR. Углы ∠ DER и ∠ ERD равны, значит, ∆ EDR — равнобедренный треугольник с основанием ED. Следовательно, ER = ED.
7. Стороны параллелограмма:
• CD = CR + DR = 3 + 25 = 28.
• Так как CD = EA (свойство параллелограмма), то EA = 28.
• ED = CR = 3 (так как EA || CD, а ER — биссектриса, то ∠ AER = ∠ DER, и ∠ AER = ∠ ERD, значит ∠ DER = ∠ ERD, следовательно ∆ EDR равнобедренный).
• Так как ED = CR = 3 (из предыдущего пункта), то EC = AD = 3.
8. Периметр: Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: P = 2 * (EA + ED) = 2 * (28 + 3) = 2 * 31 = 62.

Ответ: 62