1. Автомобиль двигался между двумя городами со скоростью v_1 = 90{ км/ч}. На середине всего пути он сделал вынужденную остановку на время $$\Delta t = 20\text{ мин}$$. Чтобы прибыть в пункт назначения без опоздания, остаток пути водитель ехал со скоростью v_2 = 120{ км/ч}. Найдите расстояние S между городами и среднюю скорость v ср автомобиля на всем маршруте (включая время остановки).

Решение:

Обозначим общее расстояние между городами как \( S \). Тогда первая половина пути равна \( S/2 \), и вторая половина пути также равна \( S/2 \).

1. Время движения на первой половине пути:
   \( t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180} \) часов.
2. Время остановки:
   \( \Delta t = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \) часа.
3. Время движения на второй половине пути:
   \( t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S/2}{120} = \frac{S}{240} \) часов.
4. Общее время в пути:
   \( T = t_1 + \Delta t + t_2 = \frac{S}{180} + \frac{1}{3} + \frac{S}{240} \) часов.
5. Найдём расстояние S:
   Сначала найдём время, которое заняла бы первая половина пути, если бы автомобиль не останавливался и ехал со скоростью \( v_1 \): \( t_{1, без_ост} = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180} \).
   Время, которое заняла бы вторая половина пути, если бы автомобиль ехал со скоростью \( v_1 \): \( t_{2, без_ост} = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180} \).
   Общее время без остановки: \( T_{без_ост} = \frac{S}{180} + \frac{S}{180} = \frac{2S}{180} = \frac{S}{90} \).
   Чтобы прибыть без опоздания, водитель должен был проехать весь путь за время \( T_{без_ост} - \Delta t \).
   \( \frac{S}{90} - \frac{1}{3} = \frac{S}{180} + \frac{1}{3} + \frac{S}{240} \)
   \( \frac{S}{90} - \frac{S}{180} - \frac{S}{240} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \)
   \( \frac{2S - S}{180} - \frac{S}{240} = \frac{2}{3} \)
   \( \frac{S}{180} - \frac{S}{240} = \frac{2}{3} \)
   Приведём к общему знаменателю (720):
   \( \frac{4S}{720} - \frac{3S}{720} = \frac{2}{3} \)
   \( \frac{S}{720} = \frac{2}{3} \)
   \( S = \frac{2}{3} \times 720 = 2 \times 240 = 480 \) км.
6. Средняя скорость:
   Общее время в пути \( T = \frac{S}{90} - \Delta t = \frac{480}{90} - \frac{1}{3} = \frac{16}{3} - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} = 5 \) часов.
   \( v_{ср} = \frac{S}{T} = \frac{480}{5} = 96 \) км/ч.

Ответ: Расстояние между городами S = 480 км, средняя скорость v_ср = 96 км/ч.