1. ∠AMC = 229°, ∠UBC = 29°, O — центр окружности (рис. 1). Тогда: a) ∠AB = 102°; ∠α = 51°; ∠β = 51°; б) ∠AB = 100°; ∠α = 50°; ∠β = 100°; в) ∠AB = 92°; ∠α = 35°; ∠β = 70°; г) ∠AB = 102°; ∠α = 51°; ∠β = 102°. 2. Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠OBC = 33° (рис. 2). Найдите угол BAC. 3. Из точки A, взятой вне окружности, проведены к ней касательная AB (B — точка касания) и секущая AD (C и D — точки пересечения с окружностью, C ∈ AD). Найдите угол ABD, если ∠CDB = 46°, ∠ADB = 82°. 4. На рисунке 3 АК = 6 см, КВ = 3 см, DK больше КС на 7 см. Найдите длину хорды CD.

Задание 1. Углы в окружности

Данное задание, как и первое из Варианта 3, проверяет знание свойств углов, связанных с окружностью. Без дополнительных данных или уточнений невозможно однозначно выбрать правильный вариант ответа.

Задание 2. Касательная и радиус

Дано:

• Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C.
• \( \angle OBC = 33^\circ \).

Найти: \( \angle BAC \).

Решение:

1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \( \angle OBA = 90^\circ \).
2. Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
3. \( \angle OCB = \angle OBC = 33^\circ \).
4. Сумма углов в треугольнике OBC равна \( 180^\circ \). \( \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (33^\circ + 33^\circ) = 180^\circ - 66^\circ = 114^\circ \).
5. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^\circ \).
6. \( \angle BAC = 360^\circ - \angle OBA - \angle OCA - \angle BOC \).
7. \( \angle OCA \) — это радиус, проведенный в точку касания, он равен \( 90^\circ \) (так же, как \( \angle OBA \) ).
8. \( \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 114^\circ = 360^\circ - 294^\circ = 66^\circ \).

Ответ: 66°.

Задание 3. Касательная и секущая

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательная AB (B — точка касания).
• Секущая AD (C и D — точки пересечения, C ∈ AD).
• \( \angle CDB = 46^\circ \).
• \( \angle ADB = 82^\circ \).

Найти: \( \angle ABD \).

Решение:

1. Угол \( \angle CDB = 46^\circ \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CB.
2. Угол \( \angle CAB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу CB. Следовательно, \( \angle CAB = \angle CDB = 46^\circ \).
3. Угол \( \angle ADB = 82^\circ \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
4. Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Следовательно, \( \angle ACB = \angle ADB = 82^\circ \).
5. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
6. \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 46^\circ - 82^\circ = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ \).
7. \( \angle ABD \) — это тот же угол, что и \( \angle ABC \), так как точки D и C лежат на одной прямой AD.

Ответ: 52°.

Задание 4. Хорды в окружности

Дано:

• На рисунке 3: АК = 6 см, КВ = 3 см.
• DK > КС на 7 см.

Найти: длину хорды CD.

Решение:

1. Для пересекающихся хорд AB и CD в окружности выполняется свойство: \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \).
2. Пусть \( CK = y \). Тогда \( KD = y + 7 \).
3. Подставим значения в формулу: \( 6 \cdot 3 = y(y+7) \).
4. \( 18 = y^2 + 7y \).
5. \( y^2 + 7y - 18 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 7^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 \). \( \sqrt{D} = 11 \).
7. \( y_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
8. \( y_2 = \frac{-7 - 11}{2} = -9 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
9. Значит, \( CK = 2 \) см.
10. Тогда \( KD = CK + 7 = 2 + 7 = 9 \) см.
11. Длина хорды CD равна \( CD = CK + KD = 2 + 9 = 11 \) см.

Ответ: 11 см.