1. ∠AKC = 230°, ∠OCB = 60°, O — центр окружности (рис. 1). Тогда: a) ∠AB = 70°; ∠α = 70°; ∠β = 35°; б) ∠AB = 70°; ∠α = 35°; ∠β = 35°; в) ∠AB = 70°; ∠α = 35°; ∠β = 70°; г) ∠AB = 80°; ∠α = 40°; ∠β = 80°. 2. Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C, ∠BAC = 68° (рис. 2). Найдите ∠OCB. 3. Из точки A, взятой вне окружности, проведены касательная AB (B — точка касания) и секущая AD (C и D — точки пересечения с окружностью, C ∈ AD). Найдите угол ABD, если ∠CDB = 48°, ∠ADB = 74°. 4. На рисунке 3 СК = 3 см, KD = 12 см, АК меньше КВ на 5 см. Найдите длину хорды AB. 5. AB — общая касательная к двум касающимся окружностям с радиусами 25 см и 36 см, А и В — точки касания. Найдите длину отрезка AB.

Задание 1. Углы в окружности

Это задание проверяет знание свойств углов, связанных с окружностью. Без дополнительных данных или уточнений невозможно однозначно выбрать правильный вариант ответа, так как разные комбинации углов могут быть верными при различных конфигурациях.

Задание 2. Касательная и радиус

Дано:

• Лучи AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C.
• \( \angle BAC = 68^\circ \).

Найти: \( \angle OCB \).

Решение:

1. Так как AB и AC — касательные, проведенные из одной точки A, то OA — биссектриса \( \angle BAC \) и \( \angle BOC \).
2. \( \angle OAB = \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 68^\circ = 34^\circ \).
3. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \( \angle OBA = \angle OCA = 90^\circ \).
4. Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^\circ \).
5. \( \angle BOC = 360^\circ - \angle OBA - \angle OCA - \angle BAC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 122^\circ \).
6. Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
7. \( \angle OCB = \angle OBC = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle BOC) = \frac{1}{2} (180^\circ - 122^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 58^\circ = 29^\circ \).

Ответ: 29°.

Задание 3. Касательная и секущая

Дано:

• Окружность с центром O.
• Касательная AB (B — точка касания).
• Секущая AD (C и D — точки пересечения, C ∈ AD).
• \( \angle CDB = 48^\circ \).
• \( \angle ADB = 74^\circ \).

Найти: \( \angle ABD \).

Решение:

1. Угол \( \angle CDB = 48^\circ \) — вписанный угол, опирающийся на дугу CB.
2. Угол \( \angle CAB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу CB. Следовательно, \( \angle CAB = \angle CDB = 48^\circ \).
3. Угол \( \angle ADB = 74^\circ \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
4. Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AB. Следовательно, \( \angle ACB = \angle ADB = 74^\circ \).
5. Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
6. \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 48^\circ - 74^\circ = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ \).
7. \( \angle ABD \) — это тот же угол, что и \( \angle ABC \), так как точки D и C лежат на одной прямой AD.

Ответ: 58°.

Задание 4. Хорды в окружности

Дано:

• На рисунке 3: СК = 3 см, KD = 12 см.
• АК < КВ на 5 см.

Найти: длину хорды AB.

Решение:

1. Для пересекающихся хорд CD и AB в окружности выполняется свойство: \( AK \cdot KB = CK \cdot KD \).
2. Пусть \( AK = x \). Тогда \( KB = x + 5 \).
3. Подставим значения в формулу: \( x(x+5) = 3 \cdot 12 \).
4. \( x^2 + 5x = 36 \).
5. \( x^2 + 5x - 36 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169 \). \( \sqrt{D} = 13 \).
7. \( x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
8. \( x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = -9 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
9. Значит, \( AK = 4 \) см.
10. Тогда \( KB = AK + 5 = 4 + 5 = 9 \) см.
11. Длина хорды AB равна \( AB = AK + KB = 4 + 9 = 13 \) см.

Ответ: 13 см.

Задание 5. Общая касательная к двум окружностям

Дано:

• Две касающиеся окружности.
• Радиусы \( r_1 = 25 \) см и \( r_2 = 36 \) см.
• AB — общая касательная, A и B — точки касания.

Найти: длину отрезка AB.

Решение:

1. Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей. \( O_1A \perp AB \) и \( O_2B \perp AB \).
2. \( O_1A = r_1 = 25 \) см, \( O_2B = r_2 = 36 \) см.
3. Расстояние между центрами \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 25 + 36 = 61 \) см (так как окружности касаются внешним образом).
4. Проведем из \( O_1 \) прямую, параллельную AB, до пересечения с \( O_2B \) в точке C.
5. \( O_1ABC \) — прямоугольная трапеция, а \( O_1ACB \) — прямоугольник.
6. \( AC = O_1A = 25 \) см.
7. \( O_2C = O_2B - CB = O_2B - O_1A = 36 - 25 = 11 \) см.
8. В прямоугольном треугольнике \( \triangle O_1CO_2 \): \( O_1O_2^2 = O_1C^2 + O_2C^2 \).
9. \( O_1C = AB \) (как стороны прямоугольника).
10. \( 61^2 = AB^2 + 11^2 \).
11. \( 3721 = AB^2 + 121 \).
12. \( AB^2 = 3721 - 121 = 3600 \).
13. \( AB = \sqrt{3600} = 60 \) см.

Ответ: 60 см.