1) ∠ADC = 50°, ∠ADB = 40°. Доказать: ΔABD = ΔDCA; 2) В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами в три раза больше угла при основании. Найдите углы треугольника; 3) Параллельные прямые a и b пересечены двумя параллельными секущими AB и CD, причём точки A и C лежат на прямой a, а точки B и D — на прямой b. Докажите, что AC = BD.

1) По рисунку стороны и углы треугольников соответствуют так: \(AB=DC\), \(AD\) — общая сторона, \(\angle BAD=\angle CDA\). Следовательно, \(\triangle ABD\cong\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними.

2) Пусть угол при вершине равен \(3x\), а каждый угол при основании — \(x\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \(3x+x+x=180^\circ\), \(5x=180^\circ\), \(x=36^\circ\). Тогда угол при вершине равен \(3\cdot36^\circ=108^\circ\).

Ответ: углы треугольника — \(36^\circ\), \(36^\circ\), \(108^\circ\).

3) Рассмотрим треугольники \(\triangle ACB\) и \(BDC\). Так как \(a\parallel b\), то \(\angle CAB=\angle ABD\) как накрест лежащие углы. Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle CBA=\angle BCD\) как накрест лежащие углы. Сторона \(AB\) не является общей, поэтому удобнее рассмотреть параллелограмм \(ABDC\): его противоположные стороны лежат на параллельных прямых \(AB\parallel CD\) и \(AC\parallel BD\). В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(AC=BD\).

Ответ: \(AC=BD\).