1. ∠ABC=123°, ∠ABD - ∠CBD = 17°. Найдите ∠ABD и ∠CBD. 2. На рис. три прямые пересекаются в точке О, ∠AOB = 70°, ∠BOC₁ = 30°. Найдите ∠AOC₁, ∠BOA₁. 3. AB = BC, ∠CBD = 50°, AD = 4 см. Найдите ∠ABC и AC.

Решение задачи №1:

Дано:

• \[ \angle ABC = 123^{\circ} \]
• \[ \angle ABD - \angle CBD = 17^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle ABD \]
• \[ \angle CBD \]

Решение:

1. \[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD \]
2. \[ 123^{\circ} = \angle ABD + \angle CBD \]
3. \[ \angle ABD = \angle CBD + 17^{\circ} \]
4. Подставим (3) в (2):
5. \[ 123^{\circ} = (\angle CBD + 17^{\circ}) + \angle CBD \]
6. \[ 123^{\circ} = 2 \angle CBD + 17^{\circ} \]
7. \[ 2 \angle CBD = 123^{\circ} - 17^{\circ} \]
8. \[ 2 \angle CBD = 106^{\circ} \]
9. \[ \angle CBD = \frac{106^{\circ}}{2} = 53^{\circ} \]
10. Теперь найдем \\[ \angle ABD \f\\]:
11. \[ \angle ABD = \angle CBD + 17^{\circ} = 53^{\circ} + 17^{\circ} = 70^{\circ} \]

Ответ: \\[ \angle ABD = 70^{\circ}, \angle CBD = 53^{\circ} \f\\]

Решение задачи №2:

Дано:

• Три прямые пересекаются в точке O.
• \[ \angle AOB = 70^{\circ} \]
• \[ \angle B{C_1} = 30^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle AOC_1 \]
• \[ \angle {BOA_1} \]

Решение:

1. \[ \angle AOB \] и \\[ \angle {A_1}{O}{C_1} \f\\] — вертикальные углы, значит \\[ \angle {A_1}{O}{C_1} = \angle AOB = 70^{\circ} \f\\]
2. \[ \angle {AOC_1} \] и \\[ \angle {B{O}{B_1}} \f\\] — вертикальные углы.
3. \[ \angle {AOC_1} = \angle AOB + \angle {BOC_1} \]
4. \[ \angle {AOC_1} = 70^{\circ} + 30^{\circ} = 100^{\circ} \]
5. Так как \\[ \angle {AOC_1} \f\\] и \\[ \angle {B{O}{B_1}} \f\\] — вертикальные углы, то \\[ \angle {B{O}{B_1}} = 100^{\circ} \f\\]
6. \[ \angle {BOA_1} \] и \\[ \angle {C{O}{C_1}} \f\\] — вертикальные углы.
7. \[ \angle {BOA_1} = \angle {B{O}{C_1}} + \angle {C{O}{A_1}} \]
8. \[ \angle {BOA_1} = 30^{\circ} + 70^{\circ} = 100^{\circ} \]

Ответ: \\[ \angle AOC_1 = 100^{\circ}, \angle BOA_1 = 100^{\circ} \f\\]

Решение задачи №3:

Дано:

• \\[ \triangle ABC \f\\] — равнобедренный (\\[ AB = BC \f\\])
• \[ \angle CBD = 50^{\circ} \]
• \[ AD = 4 \text{ см} \]

Найти:

• \\[ \angle ABC \f\\]
• \\[ AC \f\\]

Решение:

1. \\[ \triangle ABD \f\\] — прямоугольный (\\[ \angle ADB = 90^{\circ} \f\\]).
2. \\[ \angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ} \f\\]
3. \\[ \angle BAD + 50^{\circ} = 90^{\circ} \f\\]
4. \\[ \angle BAD = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \f\\]
5. Так как \\[ \triangle ABC \f\\] — равнобедренный с основанием \\[ AC \f\\] (потому что \\[ AB = BC \f\\]), то углы при основании равны:
6. \\[ \angle BAC = \angle BCA = 40^{\circ} \f\\]
7. \\[ \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) \f\\]
8. \\[ \angle ABC = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \f\\]
9. В прямоугольном \\[ \triangle ABD \f\\]:
10. \\[ \cos(\angle BAD) = \frac{AD}{AB} \f\\]
11. \\[ \cos(40^{\circ}) = \frac{4}{AB} \f\\]
12. \\[ AB = \frac{4}{\cos(40^{\circ})} \approx \frac{4}{0.766} \approx 5.22 \text{ см} \f\\]
13. Так как \\[ AB = BC \f\\]:
14. \\[ BC \approx 5.22 \text{ см} \f\\]
15. \\[ AC = AD + DC \f\\]
16. \\[ DC = BC \cos(\angle BCA) = 5.22 \cos(40^{\circ}) \approx 5.22 \times 0.766 \approx 4 \text{ см} \f\\]
17. \\[ AC = 4 + 4 = 8 \text{ см} \f\\]

Ответ: \\[ \angle ABC = 100^{\circ}, AC = 8 \text{ см} \f\\]