1. a) Integral from (15/x - x^3) dx = 2. 5) Integral from (6/sin^2(x) + 10) dx = 3. b) Integral from (8x^3 - 6x^2) dx = 4. 2) Integral from (cos(4x) - e^(3x+5)) dx = 5. g) Integral from (cos^2(3x) + sin(x/5)) dx =

Привет! Давай разберем эти примеры на интегралы.

Задание 1: Integral from (15/x - x^3) dx

Здесь у нас разность двух функций. Интеграл от разности равен разности интегралов:

\[ \int \left( \frac{15}{x} - x^3 \right) dx = \int \frac{15}{x} dx - \int x^3 dx \]

Теперь проинтегрируем каждую часть отдельно:

• Интеграл от 15/x: Используем правило integral(k/x) dx = k * ln|x|. Получаем 15 * ln|x|.
• Интеграл от x^3: Используем правило integral(x^n) dx = x^(n+1) / (n+1). Получаем x^(3+1) / (3+1) = x^4 / 4.

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования C:

\[ 15 \ln|x| - \frac{x^4}{4} + C \]

Ответ: 15 \(\ln\)|x| - \(\frac{x^4}{4}\) + C

Задание 2: Integral from (6/sin^2(x) + 10) dx

Снова разность функций, интегрируем по частям:

\[ \int \left( \frac{6}{\sin^2 x} + 10 \right) dx = \int \frac{6}{\sin^2 x} dx + \int 10 dx \]

• Интеграл от 6/sin^2(x): Знаем, что 1/sin^2(x) это -cot(x). Получаем 6 * (-cot(x)) = -6cot(x).
• Интеграл от 10: Интеграл от константы k это k*x. Получаем 10x.

Добавляем C:

\[ -6 \cot x + 10x + C \]

Ответ: -6 \(\cot\) x + 10x + C

Задание 3: Integral from (8x^3 - 6x^2) dx

Повторяем первый пример, только с другими степенями:

\[ \int (8x^3 - 6x^2) dx = \int 8x^3 dx - \int 6x^2 dx \]

• Интеграл от 8x^3: 8 * (x^(3+1) / (3+1)) = 8 * (x^4 / 4) = 2x^4.
• Интеграл от 6x^2: 6 * (x^(2+1) / (2+1)) = 6 * (x^3 / 3) = 2x^3.

Собираем и добавляем C:

\[ 2x^4 - 2x^3 + C \]

Ответ: 2x^4 - 2x^3 + C

Задание 4: Integral from (cos(4x) - e^(3x+5)) dx

Разбиваем на два интеграла:

\[ \int (\cos(4x) - e^{3x+5}) dx = \int \cos(4x) dx - \int e^{3x+5} dx \]

• Интеграл от cos(4x): Для cos(ax) интеграл равен (1/a) * sin(ax). Получаем (1/4) * sin(4x).
• Интеграл от e^(3x+5): Для e^(ax+b) интеграл равен (1/a) * e^(ax+b). Получаем (1/3) * e^(3x+5).

Объединяем и добавляем C:

\[ \frac{1}{4} \sin(4x) - \frac{1}{3} e^{3x+5} + C \]

Ответ: \(\frac{1}{4}\) \(\sin\)(4x) - \(\frac{1}{3}\) e^{3x+5} + C

Задание 5: Integral from (cos^2(3x) + sin(x/5)) dx

Снова разбиваем на два интеграла:

\[ \int (\cos^2(3x) + \sin(\frac{x}{5})) dx = \int \cos^2(3x) dx + \int \sin(\frac{x}{5}) dx \]

• Интеграл от cos^2(3x): Используем формулу понижения степени: cos^2(a) = (1 + cos(2a)) / 2. В нашем случае cos^2(3x) = (1 + cos(6x)) / 2. Теперь интегрируем: integral((1 + cos(6x)) / 2) dx = (1/2) * integral(1 + cos(6x)) dx = (1/2) * (x + (1/6)sin(6x)) = x/2 + (1/12)sin(6x).
• Интеграл от sin(x/5): Используем правило для sin(ax), где a = 1/5. Интеграл равен (-1/(1/5)) * cos(x/5) = -5cos(x/5).

Собираем все вместе и добавляем C:

\[ \frac{x}{2} + \frac{1}{12} \sin(6x) - 5 \cos(\frac{x}{5}) + C \]

Ответ: \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{1}{12}\) \(\sin\)(6x) - 5 \(\cos\)\(\frac{x}{5}\) + C