1) a^-8 * a^12; 2) a^7 : a^-11; 3) a^-6 * a^10 : a^-20; 4) a^-5 : a^5; 5) a^-4 : a^-12; 6) a^17 * a^-23 : a^-15; 7) (a^-4)^8; 8) (a^3)^-7 * (a^-4)^-5 : (a^-5)^8; 9) (a^5*b^-3*c^4)^-10; 10) (a^2*b^-3)^-8 * (a^-4*b^-9)^6; 11) (a^12*b^-4 / c^5*d^-13)^-2; 12) (a^7 / b^-3)^-4 * (a^-3 / b^9)^-12.

1.

• \[ a^{-8} \cdot a^{12} = a^{-8+12} = a^4 \]
• \[ a^7 : a^{-11} = a^{7 - (-11)} = a^{7+11} = a^{18} \]
• \[ a^{-6} \cdot a^{10} : a^{-20} = a^{-6+10} : a^{-20} = a^4 : a^{-20} = a^{4 - (-20)} = a^{4+20} = a^{24} \]
• \[ a^{-5} : a^5 = a^{-5-5} = a^{-10} \]
• \[ a^{-4} : a^{-12} = a^{-4 - (-12)} = a^{-4+12} = a^8 \]
• \[ a^{17} \cdot a^{-23} : a^{-15} = a^{17-23} : a^{-15} = a^{-6} : a^{-15} = a^{-6 - (-15)} = a^{-6+15} = a^9 \]
• \[ (a^{-4})^8 = a^{-4 \cdot 8} = a^{-32} \]
• \[ (a^3)^{-7} \cdot (a^{-4})^{-5} : (a^{-5})^8 = a^{3 \cdot (-7)} \cdot a^{-4 \cdot (-5)} : a^{-5 \cdot 8} = a^{-21} \cdot a^{20} : a^{-40} = a^{-21+20} : a^{-40} = a^{-1} : a^{-40} = a^{-1 - (-40)} = a^{-1+40} = a^{39} \]
• \[ (a^5 b^{-3} c^4)^{-10} = (a^5)^{-10} \cdot (b^{-3})^{-10} \cdot (c^4)^{-10} = a^{-50} b^{30} c^{-40} \]
• \[ (a^2 b^{-3})^{-8} \cdot (a^{-4} b^{-9})^6 = a^{2 \cdot (-8)} b^{-3 \cdot (-8)} \cdot a^{-4 \cdot 6} b^{-9 \cdot 6} = a^{-16} b^{24} \cdot a^{-24} b^{-54} = a^{-16+(-24)} b^{24+(-54)} = a^{-40} b^{-30} \]
• \[ \left( \frac{a^{12} b^{-4}}{c^5 d^{-13}} \right)^{-2} = \frac{(a^{12})^{-2} (b^{-4})^{-2}}{(c^5)^{-2} (d^{-13})^{-2}} = \frac{a^{-24} b^8}{c^{-10} d^{26}} = a^{-24} b^8 c^{10} d^{-26} \]
• \[ \left( \frac{a^7}{b^{-3}} \right)^{-4} \cdot \left( \frac{a^{-3}}{b^9} \right)^{-12} = \frac{(a^7)^{-4}}{(b^{-3})^{-4}} \cdot \frac{(a^{-3})^{-12}}{(b^9)^{-12}} = \frac{a^{-28}}{b^{12}} \cdot \frac{a^{36}}{b^{-108}} = a^{-28+36} \cdot b^{12-(-108)} = a^8 b^{12+108} = a^8 b^{120} \]