1) ∫(5x^3 + 3x - 8) dx 2) ∫(x^2 - 4)/(x + 2) dx 3) ∫sin(4x) dx 4) ∫2 dx/(5x)

Пошаговое решение:

1. 1. ∫(5x³ + 3x - 8) dx
   Применяем правило суммы интегралов:
   \[ 5 \int x^3 dx + 3 \int x dx - 8 \int dx \]
   Используем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int dx = x + C \):
   \[ 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 8x + C \]
   \[ \frac{5x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} - 8x + C \]
2. 2. ∫(x² - 4)/(x + 2) dx
   Разложим числитель как разность квадратов: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
   \[ \int \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} dx \]
   Сокращаем (x + 2):
   \[ \int (x-2) dx \]
   Применяем правило разности интегралов:
   \[ \int x dx - \int 2 dx \]
   Используем формулу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int C dx = Cx + C \):
   \[ \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2x + C \]
   \[ \frac{x^2}{2} - 2x + C \]
3. 3. ∫sin(4x) dx
   Используем метод замены переменной. Пусть u = 4x, тогда du = 4 dx, или dx = du/4.
   \[ \int \sin(u) \frac{du}{4} \]
   \[ \frac{1}{4} \int \sin(u) du \]
   Интеграл от синуса равен минус косинусу:
   \[ \frac{1}{4} (-\cos(u)) + C \]
   Подставляем обратно u = 4x:
   \[ -\frac{1}{4} \cos(4x) + C \]
4. 4. ∫2 dx/(5x)
   Выносим константу:
   \[ \frac{2}{5} \int \frac{1}{x} dx \]
   Используем формулу \( \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \):
   \[ \frac{2}{5} \ln|x| + C \]

Ответ: 1. \[ \frac{5x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} - 8x + C \]
2. \[ \frac{x^2}{2} - 2x + C \]
3. \[ -\frac{1}{4} \cos(4x) + C \]
4. \[ \frac{2}{5} \ln|x| + C \]