1. 5(3x-1)-4(4x+3) > -2 2. (√3 + √8)² - √54 / (a² - 2ab + b²) / a² 3. (a / (a-b) + ab / (b² - a²)) * (a² - 2ab + b²) / a² 4. 3/x = x + 2 5. A ------ 108 km ------ B I: v = x km/h, t₁ II: v = (x+3) km/h, через 3 ч после I, t₂ Найти vII - ? если t₁ = t₂

Решение:

1. Решение неравенства:

1. Раскроем скобки: \( 15x - 5 - 16x - 12 > -2 \)
2. Приведём подобные слагаемые: \( -x - 17 > -2 \)
3. Перенесём константу в правую часть: \( -x > -2 + 17 \)
4. \( -x > 15 \)
5. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \( x < -15 \)

Ответ: \( x < -15 \)

2. Упрощение выражения:

1. Раскроем квадрат суммы: \( (√3 + √8)² = (√3)² + 2√3√8 + (√8)² = 3 + 2√24 + 8 = 11 + 2√(4 · 6) = 11 + 4√6 \)
2. Упростим корень: \( √54 = √(9 · 6) = 3√6 \)
3. Подставим в исходное выражение: \( (11 + 4√6) - \frac{3√6}{a^2 - 2ab + b^2 / a^2} \)
4. Заметим, что \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)
5. Выражение становится: \( 11 + 4√6 - \frac{3√6}{(a-b)^2 / a^2} = 11 + 4√6 - \frac{3√6 a^2}{(a-b)^2} \)

Ответ: \( 11 + 4√6 - \frac{3√6 a^2}{(a-b)^2} \)

3. Упрощение выражения:

1. Приведём к общему знаменателю первую дробь: \( \frac{a}{a-b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} \)
2. Заметим, что \( b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) \).
3. Приведём вторую дробь к общему знаменателю: \( \frac{ab}{b^2-a^2} = \frac{-ab}{a^2-b^2} \)
4. Сложим дроби в скобках: \( \frac{a^2+ab}{a^2-b^2} + \frac{-ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab-ab}{a^2-b^2} = \frac{a^2}{a^2-b^2} \)
5. Вспомним, что \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)
6. Теперь умножим результат скобок на вторую дробь: \( \frac{a^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{(a-b)^2}{a^2} \)
7. Сократим \( a^2 \) и \( (a-b)^2 = (a-b)(a-b) \) и \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \): \( \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{(a-b)(a-b)}{a^2} = \frac{a-b}{a+b} \)

Ответ: \( \frac{a-b}{a+b} \)

4. Решение уравнения:

1. Умножим обе части уравнения на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя (при \( x \neq 0 \)): \( 3 = x(x+2) \)
2. Раскроем скобки: \( 3 = x^2 + 2x \)
3. Перенесём всё в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение, например, через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)
5. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
6. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
7. Оба корня \( x=1 \) и \( x=-3 \) не равны нулю, поэтому оба подходят.

Ответ: \( x = 1, x = -3 \)

5. Задача на движение:

1. Обозначим скорость первого автомобиля как \( v_1 = x \) км/ч. Время движения первого автомобиля — \( t_1 \). Расстояние \( S = 108 \) км.
2. Тогда \( S = v_1 · t_1 \), то есть \( 108 = x · t_1 \).
3. Скорость второго автомобиля: \( v_2 = x + 3 \) км/ч.
4. Второй автомобиль выехал через 3 часа после первого. Время движения второго автомобиля — \( t_2 \).
5. \( t_2 = t_1 - 3 \) (так как он ехал меньше на 3 часа).
6. Расстояние, которое проехал второй автомобиль: \( S = v_2 · t_2 \), то есть \( 108 = (x+3)(t_1-3) \).
7. Условие задачи: \( t_1 = t_2 \). Это значит, что второй автомобиль выехал и прибыл одновременно с первым. Это противоречит тому, что второй выехал через 3 часа после первого.
8. Перечитаем условие: \( v_1 = x \) км/ч, \( t_1 \). \( v_2 = (x+3) \) км/ч, \( t_2 \). Второй автомобиль выехал через 3 часа после первого, то есть \( t_2 = t_1 - 3 \).
9. Ищем \( v_{II} \), если \( t_1 = t_2 \). Это условие \( t_1 = t_2 \) означает, что время движения у них одинаковое. Но второй выехал позже. Если \( t_1 = t_2 \), то это означает, что \( t_1 = t_1 - 3 \), что невозможно.
10. Предположим, что \( t_1 \) и \( t_2 \) — это общее время в пути, а не время от старта первого.
11. Из \( 108 = x · t_1 \) выразим \( x = \frac{108}{t_1} \).
12. Из \( 108 = (x+3)(t_1-3) \) подставим \( x \): \( 108 = (\frac{108}{t_1}+3)(t_1-3) \)
13. \( 108 = \frac{108(t_1-3)}{t_1} + 3(t_1-3) \)
14. \( 108 = 108 - \frac{324}{t_1} + 3t_1 - 9 \)
15. \( 0 = -\frac{324}{t_1} + 3t_1 - 9 \)
16. Умножим на \( t_1 \): \( 0 = -324 + 3t_1^2 - 9t_1 \)
17. \( 3t_1^2 - 9t_1 - 324 = 0 \)
18. Разделим на 3: \( t_1^2 - 3t_1 - 108 = 0 \)
19. Решим квадратное уравнение для \( t_1 \): \( D = (-3)^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 \)
20. \( \sqrt{D} = 21 \)
21. \( t_1 = \frac{3 + 21}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) часов.
22. \( t_1 = \frac{3 - 21}{2} = \frac{-18}{2} = -9 \) (не подходит, время не может быть отрицательным).
23. Итак, \( t_1 = 12 \) часов.
24. Тогда \( x = \frac{108}{t_1} = \frac{108}{12} = 9 \) км/ч.
25. Скорость второго автомобиля \( v_{II} = x + 3 = 9 + 3 = 12 \) км/ч.

Ответ: \( v_{II} = 12 \) км/ч