Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1.49. Найдите значение выражения:
Ответ:
1.49. Найдите значение выражения:
-
a)
\[ \frac{8 \cdot (2^3)^2}{16^2} \]
Решение:
Сначала упростим числитель:
\[ 8 \cdot (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^{3 \cdot 2} = 2^3 \cdot 2^6 = 2^{3+6} = 2^9 \]
Теперь упростим знаменатель:
\[ 16^2 = (2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8 \]
Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:
\[ \frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2 \]
Ответ: 2
-
б)
\[ \frac{9^6}{(3^3 \cdot 27)} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени тройки:
\[ 9 = 3^2 \]
\[ 27 = 3^3 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(3^2)^6}{3^3 \cdot 3^3} = \frac{3^{2 \cdot 6}}{3^{3+3}} = \frac{3^{12}}{3^6} \]
Теперь вычтем степени:
\[ 3^{12-6} = 3^6 \]
Вычислим значение:
\[ 3^6 = 3^3 \cdot 3^3 = 27 \cdot 27 = 729 \]
Ответ: 729
-
в)
\[ \frac{100^3 \cdot 1000^2}{(10^5)^2} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени десятки:
\[ 100 = 10^2 \]
\[ 1000 = 10^3 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(10^2)^3 \cdot (10^3)^2}{(10^5)^2} = \frac{10^{2 \cdot 3} \cdot 10^{3 \cdot 2}}{10^{5 \cdot 2}} = \frac{10^6 \cdot 10^6}{10^{10}} \]
Сложим степени в числителе:
\[ \frac{10^{6+6}}{10^{10}} = \frac{10^{12}}{10^{10}} \]
Вычтем степени:
\[ 10^{12-10} = 10^2 = 100 \]
Ответ: 100
-
г)
\[ \frac{(5^2)^4 \cdot 625^2}{125^5} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени пятерки:
\[ 5^2 \]
\[ 625 = 5^4 \]
\[ 125 = 5^3 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(5^2)^4 \cdot (5^4)^2}{(5^3)^5} = \frac{5^{2 \cdot 4} \cdot 5^{4 \cdot 2}}{5^{3 \cdot 5}} = \frac{5^8 \cdot 5^8}{5^{15}} \]
Сложим степени в числителе:
\[ \frac{5^{8+8}}{5^{15}} = \frac{5^{16}}{5^{15}} \]
Вычтем степени:
\[ 5^{16-15} = 5^1 = 5 \]
Ответ: 5
-
д)
\[ \frac{8^5}{4^5 \cdot 24} \]
Решение:
Представим все числа в виде степеней двойки:
\[ 8 = 2^3 \]
\[ 4 = 2^2 \]
\[ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(2^3)^5}{(2^2)^5 \cdot (2^3 \cdot 3)} = \frac{2^{3 \cdot 5}}{2^{2 \cdot 5} \cdot 2^3 \cdot 3} = \frac{2^{15}}{2^{10} \cdot 2^3 \cdot 3} \]
Сложим степени в знаменателе:
\[ \frac{2^{15}}{2^{10+3} \cdot 3} = \frac{2^{15}}{2^{13} \cdot 3} \]
Вычтем степени:
\[ \frac{2^{15-13}}{3} = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3} \]
Ответ: 4/3
-
е)
\[ \frac{9^3 \cdot 27^4}{81^5} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени тройки:
\[ 9 = 3^2 \]
\[ 27 = 3^3 \]
\[ 81 = 3^4 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(3^2)^3 \cdot (3^3)^4}{(3^4)^5} = \frac{3^{2 \cdot 3} \cdot 3^{3 \cdot 4}}{3^{4 \cdot 5}} = \frac{3^6 \cdot 3^{12}}{3^{20}} \]
Сложим степени в числителе:
\[ \frac{3^{6+12}}{3^{20}} = \frac{3^{18}}{3^{20}} \]
Вычтем степени:
\[ 3^{18-20} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
Ответ: 1/9
-
ж)
\[ \frac{25^3 \cdot 5^9}{625^4} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени пятерки:
\[ 25 = 5^2 \]
\[ 625 = 5^4 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(5^2)^3 \cdot 5^9}{(5^4)^4} = \frac{5^{2 \cdot 3} \cdot 5^9}{5^{4 \cdot 4}} = \frac{5^6 \cdot 5^9}{5^{16}} \]
Сложим степени в числителе:
\[ \frac{5^{6+9}}{5^{16}} = \frac{5^{15}}{5^{16}} \]
Вычтем степени:
\[ 5^{15-16} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \]
Ответ: 1/5
-
3)
\[ \frac{1000^4}{100^2 \cdot 10^5} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени десятки:
\[ 1000 = 10^3 \]
\[ 100 = 10^2 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(10^3)^4}{(10^2)^2 \cdot 10^5} = \frac{10^{3 \cdot 4}}{10^{2 \cdot 2} \cdot 10^5} = \frac{10^{12}}{10^4 \cdot 10^5} \]
Сложим степени в знаменателе:
\[ \frac{10^{12}}{10^{4+5}} = \frac{10^{12}}{10^9} \]
Вычтем степени:
\[ 10^{12-9} = 10^3 = 1000 \]
Ответ: 1000
-
и)
\[ \frac{125^4 \cdot 25^5}{625^2 \cdot 5^{12}} \]
Решение:
Представим все числа в виде степени пятерки:
\[ 125 = 5^3 \]
\[ 25 = 5^2 \]
\[ 625 = 5^4 \]
Подставим в выражение:
\[ \frac{(5^3)^4 \cdot (5^2)^5}{(5^4)^2 \cdot 5^{12}} = \frac{5^{3 \cdot 4} \cdot 5^{2 \cdot 5}}{5^{4 \cdot 2} \cdot 5^{12}} = \frac{5^{12} \cdot 5^{10}}{5^8 \cdot 5^{12}} \]
Сложим степени в числителе и знаменателе:
\[ \frac{5^{12+10}}{5^{8+12}} = \frac{5^{22}}{5^{20}} \]
Вычтем степени:
\[ 5^{22-20} = 5^2 = 25 \]
Ответ: 25
