1) 4,2:4\(\frac{2}{3}\)-1,9; 2) \(\frac\){\(\sqrt{65}\)\(\cdot\)\(\sqrt{13}\)}{\(\sqrt{5}\)}; 3)a) 7+8x=3x б) 6x+5x^2=11 4) (7x+3)(x-4)\(\ge\) 0 5) \(\frac\){x^{24}\(\cdot\)(y^4)^7}{(xy)^{26}} при x=2, y=\(\sqrt{2}\).

Задание 1. Вычисления

Решение:

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных:

\( 4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5} \)

\( 4\frac{2}{3} = \frac{4\cdot3+2}{3} = \frac{14}{3} \)

\( 1,9 = \frac{19}{10} \)

Теперь подставим в выражение:

\[ \frac{21}{5} : \frac{14}{3} - \frac{19}{10} \]

Деление обыкновенных дробей:

\[ \frac{21}{5} \cdot \frac{3}{14} = \frac{21 \cdot 3}{5 \cdot 14} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} \]

Теперь вычитание:

\[ \frac{9}{10} - \frac{19}{10} = \frac{9 - 19}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Ответ: -1.

Задание 2. Упрощение выражения

Решение:

Упростим числитель:

\[ \sqrt{65} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{5 \cdot 13} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{5} \cdot 13 = 13\sqrt{5} \]

Теперь подставим в дробь:

\[ \frac{13\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]

Сократим \( \sqrt{5} \):

\[ 13 \]

Ответ: 13.

Задание 3. Решение уравнений

а) \( 7+8x=3x \)

Решение:

1. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:

\[ 8x - 3x = -7 \]

\[ 5x = -7 \]

2. Разделим обе части на 5:

\[ x = -\frac{7}{5} \]

Ответ: \( x = -\frac{7}{5} \).

б) \( 6x+5x^2=11 \)

Решение:

Это квадратное уравнение. Приведём его к стандартному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ 5x^2 + 6x - 11 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-11) = 36 + 220 = 256 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 + 16}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 - 16}{10} = \frac{-22}{10} = -2,2 \]

Ответ: \( x_1 = 1, x_2 = -2,2 \).

Задание 4. Решение неравенства

Решение:

Раскроем скобки:

\[ (7x+3)(x-4) \ge 0 \]

Многочлен \( 7x^2 - 28x + 3x - 12 \ge 0 \)

\[ 7x^2 - 25x - 12 \ge 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 7x^2 - 25x - 12 = 0 \).

Дискриминант:

\[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 625 + 336 = 961 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{961} = 31 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{25 + 31}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{25 - 31}{2 \cdot 7} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7} \]

Парабола \( y = 7x^2 - 25x - 12 \) ветвями вверх. Неравенство \( \ge 0 \) выполняется, когда \( x \) находится вне отрезка между корнями.

Ответ: \( x \in (-\infty; -\frac{3}{7}] \cup [4; +\infty) \).

Задание 5. Упрощение выражения

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней:

\[ \frac{x^{24} \cdot (y^4)^7}{(xy)^{26}} = \frac{x^{24} \cdot y^{4 \cdot 7}}{x^{26} \cdot y^{26}} = \frac{x^{24} \cdot y^{28}}{x^{26} \cdot y^{26}} \]

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{x^{24}}{x^{26}} \cdot \frac{y^{28}}{y^{26}} = x^{24-26} \cdot y^{28-26} = x^{-2} \cdot y^2 = \frac{y^2}{x^2} \]

Подставим данные значения \( x=2 \) и \( y=\sqrt{2} \):

\[ \frac{(\sqrt{2})^2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Ответ: \( \frac{1}{2} \).