1.38. Велосипедист движется равномерно по круговой трассе радиусом 1 км, затрачивая на каждый круг 8 мин. Найдите путь и перемещение велосипедиста: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин.

Дано: \(R=1\) км, время одного круга \(T=8\) мин.

Длина одного круга: \(L=2\pi R=2\pi\) км.

Скорость движения по трассе: \(v=\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}\) км/мин.

Путь за время \(t\): \(s=vt\). Перемещение — это хорда, соединяющая начальное и конечное положения: \(d=2R\sin\dfrac{\varphi}{2}\).

1. За 2 мин:

   Пройденная часть круга: \(\dfrac{2}{8}=\dfrac14\), поэтому \(s=\dfrac14\cdot2\pi=\dfrac{\pi}{2}\) км.

   Угол поворота — \(90^\circ\), значит \(d=2\cdot1\cdot\sin45^\circ=\sqrt2\) км.

2. За 4 мин:

   Пройденная часть круга: \(\dfrac{4}{8}=\dfrac12\), поэтому \(s=\pi\) км.

   Велосипедист оказывается в диаметрально противоположной точке: \(d=2R=2\) км.

3. За 8 мин:

   Пройден один полный круг: \(s=2\pi\) км.

   Начальная и конечная точки совпадают, поэтому \(d=0\) км.

4. За 12 мин:

   Пройдено полтора круга: \(s=\dfrac32\cdot2\pi=3\pi\) км.

   Конечная точка диаметрально противоположна начальной, поэтому \(d=2\) км.

Ответ: а) путь \(\dfrac{\pi}{2}\) км, перемещение \(\sqrt2\) км; б) путь \(\pi\) км, перемещение \(2\) км; в) путь \(2\pi\) км, перемещение \(0\) км; г) путь \(3\pi\) км, перемещение \(2\) км.